équations la forme suivante
(L)
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En employant d’autres coordonnées, on formerait de nouveaux systèmes d’équations différentielles : supposons, par exemple, que l’on change les coordonnées
et
des équations (i) du no 14 en d’autres relatives à deux axes mobiles situés sur le plan de ces coordonnées, et dont le premier indique la longitudç moyenne du corps
tandis que le second lui est perpendiculaire. Soient
et
les coordonnées de
relativement à ces axes, et désignons par
la longitude moyenne de
ou l’angle que l’axe mobile des
fait avec l’axe des
on aura
![{\displaystyle x=x_{1}\cos(nt+\varepsilon )-y_{1}\sin(nt+\varepsilon ),\qquad y=x_{1}\sin(nt+\varepsilon )+y_{1}\cos(nt+\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76640f0707b2acf41a0447e788d7a3d78294e4bf)
d’où l’on tire, en supposant
constant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}x\cos(nt+\varepsilon )+d^{2}y\sin(nt+\varepsilon )&=d^{2}x_{1}-n^{2}x_{1}dt^{2}-2ndy_{1}dt,\\d^{2}y\cos(nt+\varepsilon )-d^{2}x\sin(nt+\varepsilon )&=d^{2}y_{1}-n^{2}y_{1}dt^{2}+2ndx_{1}dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b86267d1924ec09d1b0dba2644e2110066b13cb)
En substituant dans
au lieu de
et de
leurs valeurs précédentes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial x}}&={\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial x_{1}}}\cos(nt+\varepsilon )-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial y_{1}}}\sin(nt+\varepsilon ),\\\\{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial y}}&={\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial x_{1}}}\sin(nt+\varepsilon )+{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial y_{1}}}\cos(nt+\varepsilon ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa6fea50a415bdcd529d5e1deb545ebcd69fdb0)
Cela posé, les équations différentielles {i) donneront les trois suivantes
(M)
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