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mais $dr$ est nul aux extrémités du grand axe ; on a donc à ces points

$0=r^{2}-2ar+{\frac {ah^{2}}{\mu }}.$

La somme des deux valeurs de $r$ dans cette équation est le grand axe de la section conique, et leur différence est le double de l’excentricité ; ainsi $a$ est le demi-grand axe de l’orbite ou la distance moyenne de $m$ à $\mathrm {M} ,$ et ${\sqrt {1-{\frac {h^{2}}{\mu a}}}}$ est le rapport de l’excentricité au demi-grand axe. Soit $e$ ce rapport ; on a, par le numéro précédent,

${\frac {\mu }{a}}={\frac {\mu ^{2}-l^{2}}{h^{2}}}\,;$

on aura donc $\mu e=l.$ On connaîtra ainsi tous les éléments qui déterminent la nature de la section conique et sa position dans l’espace.

20. Les trois équations finies trouvées dans le numéro précédent entre $x,y,z$ et $r$ donnent $x,y,z$ en fonction de $r$ ; ainsi, pour avoir ces coordonnées en fonction du temps, il suffit d’avoir le rayon vecteur $r$ dans une fonction semblable, ce qui exige une nouvelle intégration. Pour cela, reprenons l’équation

$2\mu r-{\frac {\mu r^{2}}{a}}-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=h^{2}\,;$

on a, par le numéro précédent,

$h^{2}={\frac {a}{\mu }}\left(\mu ^{2}-l^{2}\right)=a\mu \left(1-e^{2}\right)\,;$

on aura donc

$dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mu }}{\sqrt {2r-{\frac {r^{2}}{a}}-a\left(1-e^{2}\right)}}}}.$

Pour intégrer cette équation, soit $r=a(1-e\cos u)\,;$ on aura

$dt={\frac {a^{\frac {3}{2}}du}{\sqrt {\mu }}}(1-e\cos u),$