Si l’on fixe l’origine du temps
à l’instant même du passage du corps
par le périhélie,
sera nul, et, en faisant pour abréger
on aura
En rassemblant ces équations du mouvement de
autour de
on aura
(f)
|
|
|
l’angle
étant ce que l’on nomme anomalie moyenne. La première de ces équations donne
en fonction du temps
et les deux autres donneront
et
lorsque
sera déterminé. L’équation entre
et
est transcendante, et ne peut être résolue que par approximation. Heureusement les circonstances des mouvements célestes donnent lieu à des approximations rapides. En effet, les orbes des corps célestes sont ou presque circulaires, ou fort excentriques, et dans ces deux cas on peut déterminer
en
par des formules très-convergentes que nous allons développer. Pour cela, nous donnerons sur la réduction des fonctions en séries quelques théorèmes généraux qui nous seront utiles dans la suite.
21. Soit
une fonction quelconque de
que l’on propose de développer par rapport aux puissances de
En représentant ainsi cette suite,
![{\displaystyle u=\mathrm {u} +\alpha q_{1}+\alpha ^{2}q_{2}+\alpha ^{3}q_{3}+\ldots \alpha ^{n}q_{n}+\alpha ^{n+1}q_{n+1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d19a73ce1a208aec089f7da5d36000ab00d561c)
étant des quantités indépendantes de
il est clair que
est ce que devient
lorsqu’on y suppose
et que l’on a, quel que soit ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}=1.2.3\ldots nq_{n}+2.3\ldots (n+1)\alpha q_{n+1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c2ab6cb02397e36bc34dec60373a942af16d63)
la différence
étant prise en faisant varier tout ce qui dans
doit