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Si l’on fixe l’origine du temps $t$ à l’instant même du passage du corps $m$ par le périhélie, ${\rm {T}}$ sera nul, et, en faisant pour abréger ${\frac {\sqrt {\mu }}{a^{\frac {3}{2}}}}=n$ on aura $nt=u-e\sin u.$ En rassemblant ces équations du mouvement de $m$ autour de $\mathrm {M} ,$ on aura

(f)

$\left\{{\begin{aligned}nt&=u-e\sin u,\\r&=a(1-e\cos u),\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u,\end{aligned}}\right.$

l’angle $nt$ étant ce que l’on nomme anomalie moyenne. La première de ces équations donne $u$ en fonction du temps $t,$ et les deux autres donneront $r$ et $v,$ lorsque $u$ sera déterminé. L’équation entre $u$ et $t$ est transcendante, et ne peut être résolue que par approximation. Heureusement les circonstances des mouvements célestes donnent lieu à des approximations rapides. En effet, les orbes des corps célestes sont ou presque circulaires, ou fort excentriques, et dans ces deux cas on peut déterminer $u$ en $t$ par des formules très-convergentes que nous allons développer. Pour cela, nous donnerons sur la réduction des fonctions en séries quelques théorèmes généraux qui nous seront utiles dans la suite.

21. Soit $u$ une fonction quelconque de $\alpha ,$ que l’on propose de développer par rapport aux puissances de $\alpha .$ En représentant ainsi cette suite,

$u=\mathrm {u} +\alpha q_{1}+\alpha ^{2}q_{2}+\alpha ^{3}q_{3}+\ldots \alpha ^{n}q_{n}+\alpha ^{n+1}q_{n+1}+\ldots ,$

$\mathrm {u} ,q_{1},q_{2},\ldots$ étant des quantités indépendantes de $\alpha ,$ il est clair que $\mathrm {u}$ est ce que devient $u$ lorsqu’on y suppose $\alpha =0,$ et que l’on a, quel que soit $n,$

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}=1.2.3\ldots nq_{n}+2.3\ldots (n+1)\alpha q_{n+1}+\ldots ,$

la différence ${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}$ étant prise en faisant varier tout ce qui dans $u$ doit