en fonction de
et de ses différences prises par rapport
en nommant
cette fonction lorsqu’on y change
dans
étant ce que devient
lorsqu’on y suppose
égaux à zéro, il est visible que l’on aura
en divisant
par le produit
on aura donc la loi de la série dans laquelle
est développé.
Soit d’abord
égal à une fonction quelconque de
que nous désignerons par
dans ce cas, la différence quelconque iième de
prise par rapport à
et divisée par
est évidemment égale à cette même différence prise par rapport à
et divisée par
La même égalité a lieu entre les différences prises par rapport à
et
ou par rapport à
et
, etc. ; d’où il suit que l’on a généralement
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}\partial \alpha ''^{n''}\ldots }}={\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }u}{\partial t^{n}\partial t'^{n'}\partial t''^{n''}\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8678cceba1a9ba97e60fc3108448459cea64d0ac)
En changeant dans le second membre de cette équation
en
c’est-à-dire en
on aura, par ce qui précède,
![{\displaystyle q_{n,n',n'',\ldots }={\frac {\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }\varphi (t,t',t'',\ldots )}{\partial t^{n}\partial t'^{n'}\partial t''^{n''}\ldots }}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'.1.2.3\ldots n''\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92639bebba9909cc6c9fc4575d920f6b9e9f6fe)
Si
est seulement fonction de
on aura
![{\displaystyle q_{n}={\frac {d^{n}\varphi (t)}{1.2.3\ldots ndt^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4bed649a359fdc8a5b2dfc55b657f584290de5)
partant
(i)
|
|
|
Supposons ensuite que
au lieu d’être donné immédiatement en
et
comme dans le cas précédent, soit une fonction de
étant donné par l’équation aux différences partielles
dans laquelle
est une fonction quelconque de
Pour réduire
dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de
il faut déterminer la valeur de