vitesse primitive de
et de sa distance primitive à
est positif dans l’ellipse, il est infini dans la parabole, et négatif dans l’hyperbole ; ainsi l’orbite décrite par
est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que
est moindre, égal ou plus grand que
Il est remarquable que la direction du mouvement primitif n’influe point sur l’espèce de la section conique.
Pour déterminer l’excentricité de l’orbite, nous observerons que, si l’on nomme
l’angle que fait la direction du mouvement relatif de
avec le rayon vecteur
, on a
![{\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\rm {V^{2}\cos ^{2}\varepsilon .}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6b188563d90b4c88e2ff26eafefc35f1d0c1eb)
En substituant au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)\cos ^{2}\varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442e8b279fb3dfa623ddd99c273fc5bee88ff44c)
mais on a, par le no 19,
![{\displaystyle 2\mu r-{\frac {\mu r^{2}}{a}}-{\frac {r^{2}d^{2}r}{dt^{2}}}=\mu a\left(1-e^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c183256936c4642529a064e379272639bbf55200)
on aura donc
![{\displaystyle a\left(1-e^{2}\right)=r^{2}\sin ^{2}\varepsilon \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522add2ec268581b590f0de4b7f3d5eec2ad2b08)
ce qui fera connaître l’excentricité
de l’orbite.
L’équation aux sections coniques
![{\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c07fc790271e927802863ecd5595a91526e135)
donne
![{\displaystyle \cos v={\frac {a\left(1-e^{2}\right)-r}{er}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019beccfb942ac9d1290330afca316c66da7abf0)
On aura ainsi l’angle
que le rayon vecteur
fait avec la distance périhélie, et par conséquent on aura la position du périhélie. Les équa-