Dans le cercle,
et alors
dans l’ellipse, on a
étant infini dans la parabole, on a
et dans l’hyperbole, où
est négatif, on a ![{\displaystyle r-r'>{\frac {1}{2}}r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79c5368d84f7b598b4c8112d1956be7e219eeb1)
27. L’équation
![{\displaystyle 0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe4c797c35cf671fcf7830a6d2b26470899fe5d)
est remarquable en ce qu’elle donne la vitesse indépendamment de l’excentricité de l’orbite. Elle est renfermée dans une équation plus générale qui existe entre le grand axe de l’orbite, la corde de l’arc elliptique, la somme des rayons vecteurs extrêmes, et le temps employé à décrire cet arc. Pour parvenir à cette dernière équation, nous reprendrons les équations du mouvement elliptique, données dans le no 20, en y supposant, pour plus de simplicité,
Ces équations deviennent ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}},\\\\r&=a(1-e\cos u),\\\\t&=a^{\frac {3}{2}}(u-e\sin u).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28e64ba618ce37cae512902c942f0e15daf64f5)
Supposons que
et
correspondent à la première extrémité de l’arc elliptique, et que
et
correspondent à l’autre extrémité; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r'&={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v'}},\\\\r'&=a(1-e\cos u'),\\\\t'&=a^{\frac {3}{2}}(u'-e\sin u').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9b3435f20cf3739d9bd17ae15123d9d26fd7e4)
Soient
![{\displaystyle t'-t=\scriptstyle \mathrm {T} ,\quad {\frac {u'-u}{2}}={\text{ϐ}},\quad {\frac {u'+u}{2}}={\text{ϐ}}',\quad r'+r=\mathrm {R} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dd32f0bc95b7d1c3f95d1ba33692299d409238)
si l’on retranche l’expression de
de celle de
et si l’on observe que
![{\displaystyle \sin u'-\sin u=2\sin {\text{ϐ}}\cos {\text{ϐ}}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645de1a24da9d9bad3af674626e311073d1f908f)