quantités
Mais on doit observer que,
étant supposé fort petit, on peut négliger les termes multipliés par
ce qui réduit la suite infinie à ses
premiers termes, que l’on pourra déterminer par les
observations. Ces déterminations ne seront qu’approchées, et leur exactitude dépendra de la petitesse des termes que l’on néglige ; elles seront d’autant plus précises que
sera plus petit et que l’on emploiera un plus grand nombre d’observations. La théorie des interpolations se réduit donc à trouver une fonction rationnelle et entière de s, qui soit telle, qu’en y substituant pour
le nombre des jours qui correspondent à chaque observation, elle se change dans la longitude observée.
Représentons par ϐ,ϐ’,ϐ", … les longitudes observées de la comète, et par
les nombres des jours dont elles suivent l’époque donnée ; ces nombres doivent être supposés négatifs pour les observations antérieures à cette époque. Si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {{\text{ϐ}}'-{\text{ϐ}}}{i'-i}}=\delta {\text{ϐ}},\qquad {\frac {{\text{ϐ}}''-{\text{ϐ}}'}{i''-i'}}=\delta {\text{ϐ}}',\qquad {\frac {{\text{ϐ}}'''-{\text{ϐ}}''}{i'''-i''}}=\delta {\text{ϐ}}'',\ldots \\\\\displaystyle {\frac {\delta {\text{ϐ}}'-\delta {\text{ϐ}}}{i''-i}}=\delta ^{2}{\text{ϐ}},\qquad {\frac {\delta {\text{ϐ}}''-\delta {\text{ϐ}}'}{i'''-i'}}=\delta ^{2}{\text{ϐ}}',\ldots \\\\\displaystyle {\frac {\delta ^{2}{\text{ϐ}}'-\delta ^{2}{\text{ϐ}}}{i'''-i}}=\delta ^{3}{\text{ϐ}},\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots ,\ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a45b1664e8456795ef2b6fdc6893e6c4de265c)
la fonction cherchée sera
![{\displaystyle {\text{ϐ}}+(s-i)\delta {\text{ϐ}}+(s-i)(s-i')\delta ^{2}{\text{ϐ}}+(s-i)(s-i')(s-i'')\delta ^{3}{\text{ϐ}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ebe61b5b0e6a4c60cd81fe8dd513ae2653c529f)
car il est facile de s’assurer que, si l’on fait successivement ![{\displaystyle s=i,\ s=i',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3d1ef3e26b89b12b14756fdeeaa7cef40a7866)
elle se changera dans ![{\displaystyle {\text{ϐ}},{\text{ϐ}}',{\text{ϐ}}'',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5543aa6afb93d51eedff2e7c7a19031b08e5d1)
Maintenant, si l’on compare la fonction précédente à celle-ci
![{\displaystyle \alpha +s\left({\frac {d\alpha }{ds}}\right)+{\frac {s^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\alpha }{ds^{2}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da7626475045c9a74a37b590dceac01ed5d4a5f)