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secondes ; d’où résulte $\log \lambda ^{2}=2{,}2750444;$ partant, si l’on réduit en secondes les valeurs de $\left({\frac {d\alpha }{ds}}\right)$ et de $\left({\frac {d^{2}\alpha }{ds^{2}}}\right),$ on aura les logarithmes de $\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)$ et de $\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right),$ en retranchant des logarithmes de ces valeurs les logarithmes $4{,}0394622$ et $2{,}2750444.$ On aura pareillement les logarithmes de $\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$ et de $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right),$ en retranchant respectivement les mêmes logarithmes des logarithmes de leurs valeurs réduites en secondes.

C’est de la précision des valeurs de $\alpha ,\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right),\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right),\theta ,\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$ et $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right),$ que dépend l’exactitude des résultats suivants, et, comme leur formation est très-simple, il faut choisir et multiplier les observations, de manière à les obtenir avec le plus de précision qu’il est possible. Déterminons présentement, au moyen de ces valeurs, les éléments de l’orbite de la comète, et, pour généraliser ces résultats, considérons le mouvement d’un système de corps animés par des forces quelconques.

30. Soient $x,y,z$ les coordonnées rectangles du premier corps ; $x',y',z'$ celles du second corps, et ainsi de suite. Concevons que le premier corps soit sollicité, parallèlement aux axes des $x$, des $y$ et des $z$, par les forces ${\rm {X,Y}}$ et $\mathrm {Z} ,$ que nous supposerons tendre à diminuer ces variables. Concevons pareillement que le second corps soit sollicité, parallèlement aux mêmes axes, par les forces ${\rm {X',Y',Z',}}$ et ainsi de suite. Les mouvements de tous ces corps seront donnés par les équations différentielles du second ordre

${\begin{alignedat}{3}0&={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} ,&\qquad 0&={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} ,&\qquad 0&={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} ,\\\\0&={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+\mathrm {X'} ,&\qquad 0&={\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {Y'} ,&\qquad 0&={\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}+\mathrm {Z'} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}$

Si le nombre de ces corps est $n,$ ces équations seront au nombre $3n,$ et leurs intégrales finies renfermeront $6n$ arbitraires, qui seront les éléments des orbites des différents corps.