Si l’on combine cette différentielle avec l’intégrale elle-même, on formera les deux intégrales du premier ordre
![{\displaystyle {\begin{aligned}&c=ay\sin at+{\frac {dy}{dt}}\cos at,\\\\&c'=ay\cos at-{\frac {dy}{dt}}\sin at\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed39e8a2a411199ea24a8a8a08bee1df818fc918)
ainsi l’on aura dans ce cas
![{\displaystyle \mathrm {F} =\cos at,\qquad \mathrm {H} =-\sin at.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b327ad1a088145d5f8f4ff902097b2b796bca50)
L’intégrale complète de la proposée sera donc
![{\displaystyle y={\frac {c}{a}}\sin at+{\frac {c'}{a}}\cos at-{\frac {\alpha \sin at}{a}}\int \mathrm {Q} dt\cos at+{\frac {\alpha \cos at}{a}}\int \mathrm {Q} dt\sin at.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4faf1376e862587d096cece80108892fb0ab7f)
Il est facile d’en conclure que, si
est composé de termes de la forme
chacun de ces termes produira dans la valeur de
le terme correspondant
![{\displaystyle {\frac {\alpha \mathrm {K} }{m^{2}-a^{2}}}.{\begin{aligned}\sin \\\cos \end{aligned}}(mt+\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7714c4d43b6784e04defba5d23b34f7e7e24cae)
Si
est égal à
le terme
produira dans
: 1o le terme
qui, étant compris dans les deux termes ![{\displaystyle {\frac {c}{a}}\sin at+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac69f35c73caa5f1af3d11db15056135f84d999)
peut être négligé ; 2o le terme
le signe
ayant lieu si le terme de l’expression de
est un sinus, et le signe
ayant lieu si ce terme est un cosinus. On voit ainsi comment l’arc
se produit hors des signes sinus et cosinus dans les valeurs de
par les intégrations successives, quoique les équations différentielles ne le renferment point sous cette forme. Il est clair que cela aura lieu toutes les fois que les fonctions
renfermeront des termes constants.
42. Si les différences
ne sont pas exactes, l’analyse précédente ne donnera point leurs intégrales rigou-