grales finies des équations différentielles
![{\displaystyle 0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ,\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa25bed8e8e061bd281899223bc4d2e28b83ea1d)
on aura les
équations au moyen desquelles on pourra déterminer les paramètres
sans qu’il soit nécessaire de former pour cela les équations
; mais, lorsque les intégrales seront sous cette dernière forme, la détermination de
sera plus simple.
Cette méthode de faire varier les paramètres est d’une grande utilité dans l’Analyse et dans ses applications. Pour en montrer un nouvel usage, considérons l’équation différentielle
![{\displaystyle 0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa017df7993036c9d606f918e9f2c4107811eb61)
étant fonction de
de ses différences jusqu’à l’ordre
et des quantités
, qui sont fonctions de
Supposons que l’on ait l’intégrale finie de cette équation différentielle, dans la supposition de
constants, et représentons par
cette intégrale, qui renfermera
arbitraires
; désignons par
les différences successives de
prises en regardant
comme constants, ainsi que les paramètres
Si l’on fait varier toutes ces quantités, la différence de
sera
![{\displaystyle \delta \varphi +{\frac {\partial \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \varphi }{\partial q'}}dq'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f20cb8bb16e59c2bcdd8858f115c6e51dbc85b9)
en faisant donc
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \varphi }{\partial q'}}dq'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8aee7036d86885a8099a6177f2c37d78514345)
sera encore la première différence de
dans le cas de
variables. Si l’on fait pareillement
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \delta \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \delta \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots +{\frac {\partial \delta \varphi }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \delta \varphi }{\partial q'}}dq'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe783ec674a26b824d653e5cc9be30b59f116946)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \delta ^{i-1}\varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \delta ^{i-1}\varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots +{\frac {\partial \delta ^{i-1}\varphi }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \delta ^{i-1}\varphi }{\partial q'}}dq'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42ec3061a4aba5d86ac523dc07a7e35010b9abd)