projection que de quantités du même ordre ; cet angle peut donc être supposé égal à
et l’on a, aux quantités près du même ordre,
![{\displaystyle x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee512602cf591927916f7f75296b29adffa07a2)
d’où l’on tire
![{\displaystyle x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}=r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e14b126a9e3c95790c20bb1a1ed823e056b4f5)
et par conséquent
Il est facile de s’assurer par la différentiation que, si l’on néglige le carré de la force perturbatrice, l’équation différentielle précédente donnera, en vertu des deux premières des équations (P),
![{\displaystyle r\delta r={\frac {x\int ydt\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)-y\int xdt\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)}{\frac {xdy-ydx}{dt}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dad7aeb82f8ba84e905cbd41010ac9113f148c9)
Dans le second membre de cette équation ; les coordonnées peuvent se rapporter au mouvement elliptique, ce qui donne
constant et égal, par le no 19, à
étant l’excentricité de l’orbite de
Si l’on substitue dans l’expression de
au lieu de
et de
leurs valeurs
et
et, au lieu de
la quantité
enfin, si l’on observe que, par le no 20,
on aura
(X)
![{\displaystyle \quad \delta r=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae156647effc504a087c03f4e3192849ec36f836)
![{\displaystyle {\frac {a\cos v\int ndtr\sin v\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)-a\sin v\int ndtr\cos v\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c854b27275116ff2b291c7a98aa7911a1243a1)
L’équation (T) donne, en l’intégrant et en négligeant le carré des forces perturbatrices.
(Y)
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cette expression donnera facilement les perturbations du mouvement de
en longitude, lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées.