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veloppée est égale à

$a'^{-3}\left({\frac {1}{2}}b_{\frac {3}{2}}^{(0)}+b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\cos \theta +b_{\frac {3}{2}}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots \right)\,;$

on a donc généralement

${\rm {B}}^{(i)}={\frac {1}{a'^{-3}}}b_{\frac {3}{2}}^{(i)},$

d’où l’on tire

${\frac {\partial {\rm {B}}^{(i)}}{\partial a}}={\frac {1}{a'^{4}}}{\frac {db_{\frac {3}{2}}^{(i)}}{d\alpha }},\qquad {\frac {\partial ^{2}{\rm {B}}^{(i)}}{\partial a^{2}}}={\frac {1}{a'^{5}}}{\frac {d^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(i)}}{d\alpha ^{2}}},\ldots$

De plus, ${\rm {B}}^{(i)}$ étant une fonction homogène de $a$ et de $a',$ de la dimension $-3,$ on a

$a{\frac {\partial {\rm {B}}^{(i)}}{\partial a}}+a'{\frac {\partial {\rm {B}}^{(i)}}{\partial a'}}=-3{\rm {B}}^{(i)},$

d’où il est facile de conclure les différences partielles de ${\rm {B}}^{(i)}$ prises relativement à $a'$ au moyen de ses différences partielles en $a.$

Dans la théorie des perturbations de $m'$ par l’action de $m,$ les valeurs de ${\rm {A}}^{(i)}$ et de ${\rm {B}}^{(i)}$ sont les mêmes que ci-dessus, à l’exception de ${\rm {A}}^{(1)}$ qui dans cette théorie devient ${\frac {a'}{a^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}.$ Ainsi le calcul des valeurs de ${\rm {A}}^{(i)},{\rm {B}}^{(i)}$ et de leurs différences sert à la fois pour les théories des deux corps $m$ et $m'.$

50. Après cette digression sur le développement de ${\rm {R}}$ en série, reprenons les équations différentielles ${\rm {(X'),(Y)}}$ et $({\rm {{Z'})}}$ des n^o 46 et 47, et déterminons à leur moyen les valeurs de $\delta r,\delta v$ et $\delta s,$ portant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre des excentricités et des inclinaisons des orbites.

Si, dans les orbes elliptiques, on suppose

${\begin{alignedat}{2}r&=a(1+u_{\text{ı}}),&r'&=a'(1+u'_{\text{ı}}),\\v&=nt+\varepsilon +v_{\text{ı}},&\qquad v'&=n't+\varepsilon '+v'_{\text{ı}},\end{alignedat}}$

on aura, par le n^o 22,

${\begin{alignedat}{2}u_{\text{ı}}&=-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),&u'_{\text{ı}}&=-e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi '),\\v_{\text{ı}}&=2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi ),&\qquad v'_{\text{ı}}&=2e'\sin(n't+\varepsilon '-\varpi '),\end{alignedat}}$