veloppée est égale à
![{\displaystyle a'^{-3}\left({\frac {1}{2}}b_{\frac {3}{2}}^{(0)}+b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\cos \theta +b_{\frac {3}{2}}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00a1c2c0eba69b6c2d340ed3573c2fec558ab07)
on a donc généralement
![{\displaystyle {\rm {B}}^{(i)}={\frac {1}{a'^{-3}}}b_{\frac {3}{2}}^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241bd099c8972437d3576c900ec4012602ae39ab)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {B}}^{(i)}}{\partial a}}={\frac {1}{a'^{4}}}{\frac {db_{\frac {3}{2}}^{(i)}}{d\alpha }},\qquad {\frac {\partial ^{2}{\rm {B}}^{(i)}}{\partial a^{2}}}={\frac {1}{a'^{5}}}{\frac {d^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(i)}}{d\alpha ^{2}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950cd596c903c941a8d58b6b5d0191de5302c5b5)
De plus,
étant une fonction homogène de
et de
de la dimension
on a
![{\displaystyle a{\frac {\partial {\rm {B}}^{(i)}}{\partial a}}+a'{\frac {\partial {\rm {B}}^{(i)}}{\partial a'}}=-3{\rm {B}}^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1084c2a85febaace59a58520dd268eaae86f031)
d’où il est facile de conclure les différences partielles de
prises relativement à
au moyen de ses différences partielles en ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Dans la théorie des perturbations de
par l’action de
les valeurs de
et de
sont les mêmes que ci-dessus, à l’exception de
qui dans cette théorie devient
Ainsi le calcul des valeurs de
et de leurs différences sert à la fois pour les théories des deux corps
et
50. Après cette digression sur le développement de
en série, reprenons les équations différentielles
et
des no 46 et 47, et déterminons à leur moyen les valeurs de
et
portant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre des excentricités et des inclinaisons des orbites.
Si, dans les orbes elliptiques, on suppose
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}r&=a(1+u_{\text{ı}}),&r'&=a'(1+u'_{\text{ı}}),\\v&=nt+\varepsilon +v_{\text{ı}},&\qquad v'&=n't+\varepsilon '+v'_{\text{ı}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53db6a2f5a96b4c8fe07256cce276765ebddc56)
on aura, par le no 22,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}u_{\text{ı}}&=-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),&u'_{\text{ı}}&=-e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi '),\\v_{\text{ı}}&=2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi ),&\qquad v'_{\text{ı}}&=2e'\sin(n't+\varepsilon '-\varpi '),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c48f74fd5ac5d827bf5126e1026b773900c218)