la valeur de
s’étendant ici, comme dans ce qui va suivre, à tous les nombres entiers positifs et négatifs, la seule valeur
étant exceptée. L’équation différentielle en
deviendra donc, en multipliant la valeur de
par
qui est égal à l’unité,
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\delta u'}{dt^{2}}}+n^{2}\delta u'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d5556f1a6dc727b856a71a627ab4b7f72b2c5f)
![{\displaystyle -m'n^{2}{\frac {a}{a'^{2}}}\gamma \sin(n't+\varepsilon '-\Pi )+{\frac {m'n^{2}}{2}}aa'{\rm {B}}^{(1)}\gamma \sin(nt+\varepsilon -\Pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cff76eb376cbe91fcf3d8c1d7a680eadae63005)
![{\displaystyle +{\frac {m'n^{2}}{2}}aa'\Sigma {\rm {B}}^{(i-1)}\gamma \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\Pi \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbb7c41bdb1a41510910129908914efbd47d465)
d’où l’on tire, en intégrant et en observant que, par le no 47, ![{\displaystyle \delta s=-a\delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ebc751a81a218321c90f5cb9f7e1ce69101c90f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\delta s=-{\frac {m'n^{2}}{n^{2}-n'^{2}}}{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}\gamma \sin(n't+\varepsilon '-\Pi )-{\frac {m'a^{2}a'}{4}}{\rm {B}}^{(1)}nt.\gamma \cos(nt+\varepsilon -\Pi )\\\\&+{\frac {m'n^{2}a^{2}a'}{2}}\Sigma {\frac {{\rm {B}}^{(i-1)}}{n^{2}-\left[n-i(n-n')\right]^{2}}}\gamma \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\Pi \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4cd778a0cae3419f5eac72aa9b35a6ed852d02)
Pour avoir la latitude de
au-dessus d’un plan fixe peu incliné à celui de son orbite primitive, en nommant
l’inclinaison de cette orbite sur le plan fixe, et la longitude de son nœud ascendant sur le même plan, il suffira d’ajouter à
la quantité
ou
en négligeant l’excentricité de l’orbite. Nommons
et
ce que deviennent
et
relativement à
Si
était en mouvement sur l’orbite primitive de
la tangente de sa latitude serait
elle serait
si
continuait de se mouvoir sur son orbite primitive. La différence de ces deux tangentes est à très-peu près la tangente de la latitude de
au-dessus du plan de son orbite primitive, en le supposant mû sur le plan de l’orbite primitive de
; on a donc
![{\displaystyle \operatorname {tang} \varphi '\sin(nt+\varepsilon -\theta ')-\operatorname {tang} \varphi \sin(nt+\varepsilon -\theta )=\gamma \sin(nt+\varepsilon -\Pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dce2f0ef157e17b88bd7578d149674a463fb95c)
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} \varphi \sin \theta &=p,&\qquad \operatorname {tang} \varphi '\sin \theta '&=p',\\\operatorname {tang} \varphi \cos \theta &=q,&\qquad \operatorname {tang} \varphi '\cos \theta '&=q'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6756219ff2eb023e7520edea62977c7f5bbe2612)
on aura
![{\displaystyle \gamma \sin \Pi =p'-p,\qquad \gamma \cos \Pi =q'-q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a4641d49ff1e123bad0780a5c1c0a09d8522a3)
et par conséquent, si l’on désigne par
la latitude de
au-dessus du