Soient
les
racines de l’équation en
soit
le système des indéterminées relatif à la racine
soit
le système des indéterminées relatif à la racine
et ainsi de suite : on aura, par la théorie connue des équations différentielles linéaires,
![{\displaystyle {\begin{aligned}h\,\ &={\rm {N}}\ \,\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\h'\,&={\rm {N'}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N'_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N'_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\h''\,&={\rm {N''}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N''_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N''_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f90a469e58229ab470a644ef77c8c5e4fc4cc9d)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϐ,ϐ_1,ϐ_2,\ldots étant des constantes arbitraires. En changeant, dans ces valeurs de
les sinus en cosinus, on aura les valeurs de
Ces différentes valeurs renferment deux fois autant d’arbitraires qu’il y a de racines
car chaque système d’indéterminées renferme une arbitraire, et, de plus, il y a
arbitraires ϐ,ϐ_1,ϐ_2, … ; ces valeurs sont par conséquent les intégrales complètes des équations (A) du numéro précédent.
Il ne s’agit plus maintenant que de déterminer les constantes
ϐ,ϐ_1, …. Les observations ne donnent point immédiatement ces constantes ; mais elles font connaître, à une époque donnée, les excentricités
des orbites, et les longitudes
de leurs périhélies, et par conséquent les valeurs de
on en tirera ainsi les valeurs des constantes précédentes. Pour cela, nous observerons que, si l’on multiplie la première, la troisième, la cinquième, … des équations différentielles (A) du numéro précédent respectivement par ![{\displaystyle {\rm {N}}m{\sqrt {a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa649bf6e508f4a346466278a421c2679d5ff80)
on aura, en vertu des équations (B) et des relations trouvées dans le numéro précédent entre
et
et
![{\displaystyle {\rm {N}}{\frac {dh}{dt}}m{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}{\frac {dh'}{dt}}m'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}{\frac {dh''}{dt}}m''{\sqrt {a''}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240a1423077e67669836a7716994f490715cffdd)
![{\displaystyle =g\left({\rm {N}}lm{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}l'm'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}l''m''{\sqrt {a''}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eba2955fa7ca23da8c2a5407b18397086d252a)
Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
leurs