dans l’ellipse variable, puisqu’elle est différentielle du premier ordre. En la différentiant, on aura
or on a
![{\displaystyle dn={\frac {3an}{2\mu }}d{\frac {\mu }{a}}={\frac {3and{\rm {R}}}{\mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b499dedfb5f623f0f1cdd37cdd4392c213b3044e)
partant
![{\displaystyle d^{2}\zeta ={\frac {3andtd{\rm {R}}}{\mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68876c0fae9dd6640b6baddda3b344651e0dc59f)
et, en intégrant,
![{\displaystyle \zeta ={\frac {3}{\mu }}\iint andtd{\rm {R}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6109456b2ddbe84efd4324a77bf0bf37ddc873d)
Enfin, on a vu, dans le no 18, que les intégrales (p) n’équivalent qu’à cinq intégrales distinctes, et qu’elles donnent entre les sept paramètres
et
les deux équations de condition
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=fc''-f'c'+f''c,\\0&={\frac {\mu }{a}}+{\frac {f^{2}+f'^{2}+f''^{2}-\mu ^{2}}{c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6cb178b77e2f7c094e5fe087ee0068fe0766cf0)
ces équations ont donc encore lieu dans le cas de l’ellipse variable, pourvu que les paramètres soient déterminés par ce qui précède. On peut d’ailleurs s’en assurer facilement a posteriori.
Nous venons de déterminer cinq éléments de l’orbite troublée, savoir, son inclinaison, la position de ses nœuds, son demi-grand axe qui donne son moyen mouvement, son excentricité, et la position du périhélie. Il nous reste à déterminer le sixième élément du mouvement elliptique, celui qui, dans l’ellipse non troublée, répond à la position de
à u«e époque donnée. Pour cela, reprenons l’expression de
du no 16,
![{\displaystyle {\frac {dt{\sqrt {\mu }}}{a^{\frac {3}{2}}}}={\frac {dv\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b48ea356730d1442ce8fdf73006f573538ef73d)
Cette équation, développée en série, nous a donné, dans le numéro cité,
![{\displaystyle ndt=dv\left[1+{\rm {E}}^{(1)}\cos(v-\varpi )+{\rm {E}}^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda828c10abf44faaaa5ce0ccd68b3f1a1c4bce5)