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on substitue pour $\zeta$ et $\zeta '$ leurs valeurs

${\begin{aligned}nt&-{\frac {3im'an^{2}.k}{\mu (i'n'-in)^{2}}}\sin(i'n't-int+{\rm {A}}),\\\\n't&+{\frac {3iman^{2}.k}{\mu (i'n'-in)^{2}}}{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {a'}}}\sin(i'n't-int+{\rm {A}}),\end{aligned}}$

il en résultera parmi les termes de l’ordre $m^{2}$ le suivant

$-{\frac {9i^{2}m'^{2}a^{2}n^{4}k^{2}}{8\mu ^{2}(i'n'-in)^{4}}}{\frac {im'{\sqrt {a'}}+i'm{\sqrt {a}}}{m'{\sqrt {a'}}}}\sin 2(i'n't-int+{\rm {A}}).$

La valeur de $\zeta '$ renferme le terme correspondant qui est au précédent dans le rapport de $m{\sqrt {a}}$ à $-m'{\sqrt {a'}}$,

${\frac {9i^{2}m'^{2}a^{2}n^{4}k^{2}}{8\mu ^{2}(i'n'-in)^{4}}}\left(im'{\sqrt {a'}}+i'm{\sqrt {a}}\right){\frac {m{\sqrt {a}}}{m'^{2}a'}}\sin 2(i'n't-int+{\rm {A}}).$

66. Il peut arriver que les inégalités du moyen mouvement les plus sensibles ne se rencontrent que parmi les termes de l’ordre des carres des masses perturbatrices. Si l’on considère trois corps $m,m',m'',$ circulant autour de ${\rm {M,}}$ l’expression de $d{\rm {R}}$ relative aux termes de cet ordre renfermera des inégalités de la forme $k\sin(int-i'n't+i''n''t+{\rm {A}})\,;$ or, si l’on suppose les moyens mouvements $nt,n't,n''t$ tels que $in-i'n'+i''n''$ soit une fraction extrêmement petite de $n,$ il en résultera une inégalité très-sensible dans la valeur de $\zeta .$ Cette inégalité peut même rendre rigoureusement nulle la quantité $in-i'n'+i''n'',$ et établir ainsi une équation de condition entre les moyens mouvements et les longitudes moyennes des trois corps $m,m',m''.$ Ce cas très-singulier ayant lieu dans le système des satellites de Jupiter, nous allons en développer l’analyse.

Si l’on prend ${\rm {M}}$ pour unité de masse, et si l’on néglige $m,m',m''$ vis-à-vis de ${\rm {M,}}$ on aura

$n^{2}={\frac {1}{a^{2}}},\qquad n'^{2}={\frac {1}{a'^{2}}},\qquad n''^{2}={\frac {1}{a''^{2}}}.$