On a par le no 46, en négligeant les carrés et les produits des inclinaisons des orbites,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {R}}&={\frac {m'r}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-m'\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\\\&+{\frac {m''r}{r''^{2}}}\cos(v''-v)-m''\left[r^{2}-2rr''\cos(v''-v)+r''^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc36c7ec479c498471c0425d3b81c6cd95c23988)
Si l’on développe cette fonction dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de
de
et de leurs multiples, on aura une expression de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {R}}={\frac {m'}{2}}(r,r')^{(0)}+m'(r,r')^{(1)}\cos(v'-v)+m'(r,r')^{(2)}\cos 2(v'-v)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +m'(r,r')^{(3)}\cos 3(v'-v)+\ldots \\&+{\frac {m''}{2}}(r,r'')^{(0)}+m''(r,r'')^{(1)}\cos(v''-v)+m''(r,r'')^{(2)}\cos 2(v''-v)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +m''(r,r'')^{(3)}\cos 3(v''-v)+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d62c638725d3fa60dbcad654a136962c33db08)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\rm {R}}&=dr\left[{\frac {m'}{2}}{\frac {\partial (r,r')^{(0)}}{\partial r}}+m'{\frac {\partial (r,r')^{(1)}}{\partial r}}\cos(v'-v)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +m'{\frac {\partial (r,r')^{(2)}}{\partial r}}\cos 2(v'-v)+\ldots \\&\quad +{\frac {m''}{2}}{\frac {\partial (r,r'')^{(0)}}{\partial r}}+m''{\frac {\partial (r,r'')^{(1)}}{\partial r}}\cos(v''-v)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+m''{\frac {\partial (r,r'')^{(2)}}{\partial r}}\cos 2(v''-v)+\ldots \right]\\&+dv\left[m'(r,r')^{(1)}\sin(v'-v)+2m'(r,r')^{(2)}\sin 2(v'-v)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+m''(r,r'')^{(1)}\sin(v''-v)+2m''(r,r'')^{(2)}\sin 2(v''-v)+\ldots \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e51737cf47baf3a960e9e55667c26036383d6a1)
Supposons, conformément à ce que les observations indiquent dans le système des trois premiers satellites de Jupiter, que
et
soient des fractions très-petites de
et que leur différence
ou
soit incomparablement plus petite que chacune d’elles. Il résulte des expressions de
et de
du no 50 que l’action de
produit dans le rayon vecteur et dans la longitude de
une inégalité très-sensible, dépendant de l’argument
Les termes relatifs à cette inégalité ont pour diviseur
ou
et ce diviseur est très-petit, à raison de la petitesse du facteur
On voit encore, par la considération des mêmes expressions, que l’action de