Ainsi la valeur de
sera toujours très-petite, et les équations séculaires des moyens mouvements des trois premiers satellites seront toujours coordonnées par l’action mutuelle de ces astres, de manière que l’équation séculaire du premier, plus deux fois celle du troisième, soit égale à trois fois celle du second.
Les théorèmes précédents donnent entre les six constantes ![{\displaystyle n,n',n'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05d5df753bb6372570f276836eb3ae1e37b21b4)
deux équations de condition, qui réduisent ces arbitraires à quatre ; mais les deux arbitraires
et
de la valeur de
les remplacent. Cette valeur se distribue entre les trois satellites, de manière qu'en nommant
les coefficients de
dans les expressions de
ces coefficients sont dans le rapport des valeurs précédentes de
et
et de plus on a
De là résulte, dans les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter, une inégalité qui ne diffère pour chacun d’eux que par son coefficient, et qui forme dans ces mouvements une espèce de libration dont l’étendue est arbitraire. Les observations ont fait voir qu’elle est insensible.
67. Considérons présentement les variations des excentricités et des périhélies des orbites. Pour cela, reprenons les expressions de
trouvées dans le no 64; en nommant
le rayon vecteur de
projeté sur le plan des
et des
l’angle que cette projection fait avec l’axe des
et
la tangente de la latitude de
au-dessus du même plan, on aura
![{\displaystyle x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad z=rs,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126590714cf8ef6a72adde1fbc742b01b390cc9b)
d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle {\begin{aligned}x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}&=y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}},\\\\x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}-z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}&=\left(1+s^{2}\right)\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}-rs\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}+s\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}},\\\\y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}-z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}&=\left(1+s^{2}\right)\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}-rs\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}-s\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fab7241d5858eea6117ccb7ee1f6cbb2c1532d6)