Cela posé, si l’on substitue pour
sa valeur trouvée dans le no 48 ; si l’on considère ensuite que l’on a, par le même numéro,
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}={\frac {a}{r}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}=(1-u_{\text{ı}}){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f64feec93ab08da1dd5742476c2a1366c0335d)
enfin, si l’on substitue, au lieu de
et
leurs valeurs
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),&-e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi '),\\2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi ),&2e'\sin(n't+\varepsilon '-\varpi '),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a414304e7979af40ef85167d265b32dcd9e1d49d)
données par le no 22, en ne conservant que les termes constants parmi ceux qui dépendent de la première puissance des excentricités des orbites, et en négligeant les carrés des excentricités et des inclinaisons, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}df&={\frac {am'ndt}{2}}e\sin \varpi \left(a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\\\\&+am'ndt.e'\sin \varpi '\left({\rm {A}}^{(1)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a'}}+{\frac {1}{4}}aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right)\\\\&-am'ndt.\Sigma \left(i{\rm {A}}^{(i)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}\right)\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357675fdd8934c263e9f6245dfd4c7e1b36cc1f4)
le signe intégral
s’étendant dans cette expression, comme dans la valeur de
du no 48, à toutes les valeurs entières positives et négatives de
en y comprenant même la valeur ![{\displaystyle i=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a682d568ee6a5fe51d76423186057f625ada5c)
On aura, par le numéro précédent, la valeur de
en diminuant dans celle de
les angles
et
d’un angle droit ; d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}df&=-{\frac {am'ndt}{2}}e\cos \varpi \left(a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\\\\&-am'ndt.e'\cos \varpi '\left({\rm {A}}^{(1)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a'}}+{\frac {1}{4}}aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right)\\\\&+am'ndt.\Sigma \left(i{\rm {A}}^{(i)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}\right)\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7cb6e3a30bbdba42576dc2d33f10339ba19eef)
Nommons, pour abréger,
la partie de l’expression de
renfermée sous le signe
et
la partie de l’expression de
renfermée sous