ce qui donne pour l’équation de la courbe tautochrone
![{\displaystyle gdz={\frac {kds}{n}}\left(1-c^{-ns}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7125b7dd8f0b9176d238df65a9179f726501460)
Dans le vide, et lorsque la résistance est proportionnelle à la simple vitesse,
est nul, et cette équation devient
![{\displaystyle gdz=ksds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54384e5e96d9a1bb0b695e765db9148b6ecd0364)
équation à la cycloïde.
Il est remarquable que le coefficient
de la partie de la résistance, proportionnelle au carré de la vitesse, n’entre point dans l’expression du temps
et il est visible, par l’analyse précédente, que cette expression serait la même, si l’on ajoutait à la loi précédente de la résistance les termes
Soit, en général,
la force retardatrice le long de la courbe ; on aura
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\rm {R\ ;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6aeccf6e3381ce024d1d5af35ec4ecaac36c805)
est une fonction du temps
et de l’arc total parcouru, qui par conséquent est fonction de
et de
. En différentiant cette dernière fonction, on aura une équation différentielle de cette forme
![{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd39c50ba6db2086dc40399583af8b7becefbdb9)
étant une fonction de
et de
qui doit être nulle, par la condition du problème, lorsque
a une valeur déterminée et indépendante de l’arc total parcouru. Supposons, par exemple,
étant fonction de
seul, et
étant fonction de
seul ; on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\mathrm {T} {\frac {d\mathrm {S} }{dt}}{\frac {ds}{dt}}+{\rm {S}}{\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {d{\rm {S}}}{\rm {Sds}}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {S} {\frac {d{\rm {T}}}{dt}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35f49c8651dcd0334783df86971c23db2de2b64)
mais l’équation
donne
, et par conséquent
égal à une fonc-