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partant

${\begin{aligned}\operatorname {tang} s=&{\frac {y{\cfrac {dz}{dt}}-z{\cfrac {dy}{dt}}}{x{\cfrac {dz}{dt}}-z{\cfrac {dx}{dt}}}},\\\operatorname {tang} \varphi =&{\frac {x{\cfrac {dz}{dt}}-z{\cfrac {dx}{dt}}}{\cos \left(x{\cfrac {dy}{dt}}-y{\cfrac {dx}{dt}}\right)}}.\end{aligned}}$

La tangente de $s$ pouvant appartenir également aux deux angles $s$ et $180^{\circ }+s,$ il faudra choisir le premier de ces angles si $y{\cfrac {dz}{dt}}-z{\cfrac {dy}{dt}}$ est de même signe que $x{\cfrac {dy}{dt}}-y{\cfrac {dx}{dt}},$ et choisir le second si ces deux quantités sont de signe contraire. De là il est facile de conclure que la longitude du nœud ascendant de l’orbite sera le plus petit des angles positifs qui ont pour tangente ${\frac {y{\cfrac {dz}{dt}}-z{\cfrac {dy}{dt}}}{x{\cfrac {dz}{dt}}-z{\cfrac {dx}{dt}}}},$ si $y{\cfrac {dz}{dt}}-z{\cfrac {dy}{dt}}$ est une quantité positive, ou qu’elle sera égale à ce même angle augmenté de $180^{\circ },$ si cette quantité est négative ; quant à l’angle $\varphi ,$ sa tangente sera toujours positive, et il faut prendre le plus petit des angles auxquels appartient cette tangente. On aura donc, par ce qui précède, le sens du mouvement de la comète, la position de son nœud ascendant et l’inclinaison de son orbite.

Pour avoir les autres éléments, supposons que la comète décrive une ellipse dont le grand axe soit $2a\,;\ p$ le demi-paramètre ; $e$ l’excentricilé ; $\upsilon$ l’angle formé par le rayon vecteur de la comète et par le périhélie, à l’instant où sa longitude géocentrique est $\alpha \,;$ enfin $r$ son rayon vecteur correspondant ; on a, par la nature de l’ellipse,

${\begin{aligned}p=&a\left(1-e^{2}\right),\\r=&{\frac {p}{1+e\cos \upsilon }}\,;\end{aligned}}$

on a ensuite, par la théorie des forces centrales,

$r^{2}d\upsilon =dt{\sqrt {p}},$