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VI.

Le cas dans lequel $i=1$ étant le plus ordinaire, nous allons exposer ici les formules les plus simples pour déterminer dans ce cas la valeur approchée de l’intégrale $\int ydx.$

Si l’on suppose $v=-{\frac {ydx}{dy}}$ et que l’on nomme $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {U}$ ce que deviennent $y$ et $v$ lorsqu’on y change $x$ en $\theta ,$ et $\mathrm {Y} '$ et $\mathrm {U} '$ ce que deviennent ces mêmes quantités lorsqu’on y change $x$ en $\theta ',$ on aura

$(a)\left\{{\begin{aligned}\int ydx&=\mathrm {YU} \,\ \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}\ +{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}\ \ \ +{\frac {d\left[\mathrm {U} d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )\right]}{d\theta ^{3}}}\ \ \ +\ldots \right\}\\&-\mathrm {Y'U'} \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} '}{d\theta '}}+{\frac {d(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')}{d\theta '^{2}}}+{\frac {d\left[\mathrm {U} 'd(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')\right]}{d\theta '^{3}}}+\ldots \right\},\end{aligned}}\right.$

l’intégrale $\int ydx$ étant prise depuis $x=\theta$ jusqu’à $x=\theta '.$ Cette formule sera très convergente toutes les fois que ${\frac {dy}{dx}}$ sera très grand par rapport à $y,$ ce qui a lieu lorsque, les facteurs de $y$ étant élevés à de grandes puissances, l’intégrale $\int ydx$ est prise dans des intervalles éloignés du maximum de $y.$

Pour avoir cette même intégrale dans les intervalles voisins de ce maximum, supposons qu’il réponde à $x=a,$ et nommons $\mathrm {Y}$ le maximum de $y$ ou ce qu’il devient lorsqu’on y change $x$ en $a\,;$ supposons encore, comme cela arrive le plus souvent, que la valeur $a$ de $x$ ne fasse disparaître que la première différence de $y\,:$ dans ce cas, on fera

$t={\sqrt {\log \mathrm {Y} -\log y}},\qquad v={\frac {x-a}{\sqrt {\log \mathrm {Y} -\log y}}},$

et, en désignant par $\mathrm {U} ,{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}},\ldots$ ce que deviennent $v,{\frac {du^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}u^{3}}{dx^{2}}},$$\ldots$ lorsqu’on y change $x$ en $a,$ on aura

$(b)\ \ \int ydx=Y\int dte^{-t^{2}}\left(\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}t+{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}t^{2}+{\frac {d^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3dx^{3}}}t^{3}+\ldots \right).$