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Cette expression de $\int ydx$ sera d’autant plus approchée que les facteurs de $y$ seront élevés à de plus hautes puissances.

La formule $(c)$ renferme l’intégrale indéfinie \int dte^{-t^2} qu’il n’est pas possible d’obtenir en termes finis ; mais on peut, dans tous les cas, la déterminer d’une manière fort approchée par les méthodes connues. Si $t$ est peu considérable, on pourra faire usage de la série suivante

$\int dte^{-t^{2}}=\mathrm {T-{\frac {1}{3}}T^{3}+{\frac {1}{1.2}}{\frac {T^{5}}{5}}-{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {T^{7}}{7}}+{\frac {1}{1.2.3.4}}{\frac {T^{9}}{T^{9}}}9} -\ldots ,$

l’intégrale étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\mathrm {T} .$

Si $t$ est considérable, on pourra se servir de cette série

$\int dte^{-t^{2}}=\mathrm {{\frac {e^{-T^{2}}}{2T}}\left(1-{\frac {1}{2T^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}T^{4}}}-{\frac {1.3.5}{2^{3}T^{6}}}+\ldots \right)} ,$

l’intégrale $\int dte^{-t^{2}}$ étant prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty ,$ en sorte que, pour avoir la valeur de cette intégrale depuis $t=0$ jusqu’à $t=\mathrm {T} ,$ il faut retrancher la valeur précédente de ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$ Cette série est alternativement plus grande et plus petite que l’intégrale $\int dte^{-t^{2}},$ de manière que la valeur de cette intégrale, prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty ,$ est toujours comprise entre la somme d’un nombre fini quelconque de ses termes et cette même somme augmentée du terme suivant. Ce genre de série, que l’on peut nommer séries de limites, a l’avantage de faire connaître avec précision les limites des erreurs des approximations. Dans un grand nombre de cas, les formules $(a),(b),(c)$ et $(d)$ conduisent à des séries de cette nature.

VII.

On peut facilement étendre l’analyse précédente aux doubles, triples, … intégrales ; pour cela, considérons la double intégrale $\int ydxdx',\ y$ étant une fonction de $x$ et de $x'$ qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Supposons que l’intégrale relative à $x'$doive être prise depuis une fonction $\mathrm {X}$ de $x$ jusqu’à une