ou
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Z} =i+1\\&+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]}{1.2.3}}z+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right])}{1.2.3.4.5}}z^{2}\\&+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right]\left[(i+1)^{2}-9\right]}{1.2.3.4.5.6.7}}z^{3}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c00d9fc9c31bf90eedface4693429dbad2a8e37)
Si l’on nomme ensuite
le coefficient de
* dans le développement de
on aura
en changeant, dans
en
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {Z} '=i+{\frac {i\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3}}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d3848c1d5c0ecd2cc1d3c67cd481cd92caf668)
![{\displaystyle +{\frac {i\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5}}z^{2}+{\frac {i\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)\left(i^{2}-9\right)}{1.2.3.4.5.6.7}}z^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39473455958a0524256b1c0ded766842c37290b7)
On aura ainsi
pour le coefficient de
dans le développement de la fraction
ce sera, par conséquent, l’expression de
partant
![{\displaystyle {\frac {u}{t^{i}}}=u(\mathrm {Z} -t\mathrm {Z} ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e98ebba76868db8b491b7216e84716ae7d9d2f)
Cela posé, le coefficient de
dans
est
ce même coefficient, dans un terme quelconque de
tel que
ou, ce qui revient au même,
est, par l’article II, égal à
dans un terme quelconque de
tel que
ce coefficient est
On aura donc, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x+i}=&(i+1)y_{x}+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]}{1.2.3}}\Delta ^{2}y_{x-1}\\&+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right]}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{4}y_{x-2}+\ldots \\&-iy_{x-1}-{\frac {i\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3}}\Delta ^{2}y_{x-2}\\&-{\frac {i\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{4}y_{x-3}-\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc63a21aa441e2bc50701362e8a5e1d0dff5b2f)
On peut varier encore la forme précédente de
pour cela, soit
ce que devient
lorsqu’on y change
en
et, par conséquent,