Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/286

on aura ce résultat assez remarquable

$\int \mathrm {Q} d\varpi ={\frac {2\pi e^{-\mu }\mu }{\int x^{\mu }e^{-x}dx}}\,;$

supposons, par exemple, $\mu =1,$ on aura

$\int \mathrm {Q} d\varpi =2\int d\varpi {\frac {\cos \varpi +\varpi \sin \varpi }{1+\varpi ^{2}}}=2\int {\frac {\varpi d\varpi \sin \varpi \left(3+\varpi ^{2}\right)}{\left(1+\varpi ^{2}\right)^{2}}},$

ces intégrales étant prises depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\infty \,;$ partant,

$\int {\frac {d\varpi \sin \varpi \left(3+\varpi ^{2}\right)}{\left(1+\varpi ^{2}\right)^{2}}}={\frac {\pi }{e}}.$

On peut observer encore que, $\int {\frac {e^{-x}dx}{x^{\mu }}}$ étant égal à ${\frac {e^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\int \mathrm {Q} d\varpi ,$ on a

$\int {\frac {e^{-x}dx}{x^{\mu }}}={\frac {2\pi \mu (-1)^{\mu -{\frac {1}{2}}}}{\int x^{\mu }dxe^{-x}}}={\frac {2\pi (-1)^{\mu -{\frac {1}{2}}}}{\int x^{\mu -1}dxe^{-x}}},$

intégrale du premier membre de cette équation étant prise entre les deux valeurs imaginaires de $x$ qui rendent nulle la quantité ${\frac {e^{-x}}{x^{\mu }}},$ et l’intégrale du second membre étant prise entre les deux valeurs réelles de $x$ qui rendent nulle la quantité $x^{\mu }e^{-x},$ c’est-à-dire depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty .$

On pourrait facilement parvenir aux résultats précédents, en considérant l’équation aux différences finies

$0=y_{s}-sy_{s+1}\,;$

mais j’ai voulu faire voir, par un exemple fort simple, que les mêmes expressions, trouvées dans le cas de $s$ positif, subsistent encore lorsque $s$ est négatif.

XXI.

Considérons l’équation aux différences finies

$p^{s}=sy_{s}-(m-s)y_{s+1}\,;$