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d’où l’on tire les deux équations

$0=i\varphi -{\frac {d(x\varphi )}{dx}},\qquad 0=x\varphi \delta y.$

La première donne, en l’intégrant,

$\varphi =\mathrm {A} x^{i-1},$

et la seconde donne, pour les limites de l’intégrale $\int e^{-sx}dx,$

$x=0\qquad {\text{et}}\qquad x=\infty \,;$

on aura donc ainsi

${\frac {1}{s^{i}}}=\mathrm {A} \int x^{i-1}dxe^{-sx}.$

Pour déterminer la constante arbitraire $\mathrm {A} ,$ nous observerons que, $s$ étant $1,$ le premier membre de cette équation se réduit à l’unité, ce qui donne

$\mathrm {A} ={\frac {1}{\int x^{i-1}dxe^{-x}}},$

partant

${\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\int x^{i-1}dxe^{-sx}}{\int x^{i-1}dxe^{-x}}}\,;$

on aura donc

$(\mu )\qquad \qquad \qquad \Delta ^{n}{\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\int x^{i-1}dxe^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}}{\int x^{i-1}dxe^{-x}}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty .$ La considération de cette formule va nous fournir quelques remarques intéressantes sur cette analyse.

Pour la développer en série, supposons

$x^{i-1}e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}=a^{i-1}e^{-sa}\left(e^{-a}-1\right)^{n}e^{-t^{2}},$

$a$ étant la valeur de $x$ qui répond au maximum du premier membre de cette équation. Si l’on fait $x=a+\theta ,$ on aura, en prenant les logarithmes de chaque membre et en développant le logarithme du pre-