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Si l’on suppose $s=0$ et $e^{a}$ de l’ordre $n$ ou $i,$ ces équations deviendront

$a={\frac {i+1}{n}}\left(1-e^{-a}\right),$

$l=-{\frac {i+1}{2a^{2}}},\qquad l'=-{\frac {i+1}{3a^{3}}},\qquad l''=-{\frac {i+1}{4a^{4}}}\,;$

la formule précédente donnera donc, dans ce cas,

${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}={\frac {\left({\cfrac {i}{i+1}}\right)^{i+{\frac {1}{2}}}e^{na-i}\left(1-e^{-a}\right)^{n-i}}{\sqrt {1-{\cfrac {i+1-na}{n}}}}}.$

Or on a

$\left({\frac {i}{i+1}}\right)^{i+{\frac {1}{2}}}=e^{-1},$

et si l’on fait $e^{-a}=z,\ z$ étant supposé une très petite fraction de l’ordre ${\frac {1}{i}},$ on aura

$\left(1-e^{-a}\right)^{n-i}=e^{(i-n)z}\left(1+{\frac {i-n}{2}}z^{2}\right)\,;$

on a ensuite

$i+1-na=(i+1)z.$

On aura donc, à très peu près,

${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}=e^{-nz}\left(1+{\frac {i-2n+1}{2n}}z+{\frac {i-n}{2}}z^{2}\right)=y_{i}.$

Pour déterminer $z,$ nous observerons que l’équation $a={\frac {i+1}{n}}(1-z)$ donne, pour première valeur de $a,$

$a={\frac {i}{n}}\,;$

en désignant donc $e^{\frac {-i}{n}}$ par $q,$ nous aurons, pour une première valeur de $z,$

$z=q\,;$

cette valeur substituée dans l’expression de $a$ donne, pour seconde