nous verrons dans la Section suivante toute la théorie des attractions des sphéroïdes très peu différents de la sphère découler de cette équation fondamentale.
IX.
Supposons d’abord le point attiré extérieur au sphéroïde ; si l’on réduit
en série, elle doit être, dans ce cas, descendante par rapport aux puissances de
et par conséquent de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {U} ^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(2)}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(3)}}{r^{4}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42da59b2960489136676ced22a0e995c25e4e71b)
Si l’on substitue cette valeur de
dans l’équation précédente aux différences partielles, on aura, quel que soit ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dec2d427c2489ef629eeef717b1fb6a5359a23f)
et il est visible, par la seule inspection de l’expression intégrale de
que
est une fonction rationnelle et entière de
et
dépendante de la nature du sphéroïde. Voyons comment on peut la déterminer.
Nommons
le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+\mathrm {R} ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548e93b8f7779e2423ac7c7c2e7b2f850ee1eb6d)
nous aurons
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {T} }{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}(r\mathrm {T} )}{\partial r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90f178bf7e69acea5d9c38c6be38ee3765963d3)
cette équation subsisterait encore en y changeant
en
en
et réciproquement, parce que
est une pareille fonction de
et de
que de
et de
Si l’on réduit
dans une suite descendante relativement à
on aura
![{\displaystyle T={\frac {\mathrm {Q} ^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {Q^{(1)}R} }{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {Q^{(2)}R^{2}} }{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {Q^{(3)}R^{3}} }{r^{4}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0705256efd9b8f3031a99dd9d9a878acd817456b)