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de $\mathrm {V}$ est relative à une couche dont le rayon intérieur est $a,$ et dont le rayon extérieur est $a(1+\alpha y).$ Or on a, par l’article IX,

$\mathrm {U} ^{(i)}=\int \mathrm {R} ^{i+2}d\mathrm {R} \mathrm {Q} ^{(i)}d\varpi 'd\theta '\sin \theta '\,;$

ainsi, pour que cette valeur soit uniquement relative à la couche dont nous venons de parler, il faut que, en ne prenant l’intégrale relative à $\mathrm {R}$ que depuis $\mathrm {R} =0$ jusqu’à $\mathrm {R} =a,$ on ait $\mathrm {U} ^{(i)}=0.$ On aura la parties de $\mathrm {U} ^{(i)}$ qui dépend de l’intégrale prise depuis $\mathrm {R} =a$ jusqu’à $\mathrm {R=R'}$ ou $\mathrm {R} =a(1+\alpha y')$ en faisant dans cette expression $\mathrm {R} =a$ et $d\mathrm {R} =\alpha ay',$ d’où l’on tire

$\mathrm {U} ^{(i)}=\alpha a^{i+3}\int y'\mathrm {Q} ^{(i)}d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$

partant

$v^{(i)}={\frac {\mathrm {U} ^{(i)}}{a^{2i+1}}}\,;$

mais on a, par l’article XIII,

$\mathrm {U} ^{(i)}={\frac {4\alpha \pi a^{i+3}}{(2i+1)}}\mathrm {Y} ^{(i)}\,;$

donc

$v^{(i)}={\frac {4\alpha \pi }{(2i+1)a^{i-2}}}\mathrm {Y} ^{(i)}.$

La valeur de $\mathrm {V}$ relative à un point intérieur sera ainsi

(8)

${\begin{aligned}\mathrm {V} =2\pi a^{2}&-{\frac {2}{3}}\pi r^{2}\\&+4\alpha \pi a^{2}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {r}{3a}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5a^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\frac {r^{3}}{7a^{3}}}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right).\end{aligned}}$

XVI.

Cette formule et la formule (7) de l’article XIII embrassent toute la théorie des attractions des sphéroïdes homogènes ; il est facile d’en tirer celle des attractions des sphéroïdes hétérogènes, quelle que soit la loi de la variation de la figure et de la densité de leurs couches. Pour cela, soit $a(1+\alpha y)$ le rayon d’une des couches d’un sphéroïde hétérogène, et supposons que $y$ soit sous cette forme $\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots ,$ les coefficients qui entrent dans les quantités $\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)}} ,\ldots$ étant des fonctions de $a,$ et par conséquent variables d’une couche à l’autre. Si l’on prend la différentielle en $a$ de la valeur de $\mathrm {V}$ donnée par la for-