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la propriété de satisfaire à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {P} }{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {P} }{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {P} ,$

dans laquelle $\mathrm {P}$ est un terme quelconque et $i$ l’exposant de sa plus haute puissance en $\mu$ car il est clair que chacun des deux termes ${\frac {1}{3}}gr^{2}$ et $-{\frac {1}{2}}gr^{2}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)$ satisfait à l’équation précédente. Il nous reste présentement à déterminer la partie de l’intégrale

$\int (\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\ldots )$

qui résulte de l’action des corps étrangers.

Soient $\mathrm {S}$ la masse d’un de ces corps ; $f$ sa distance à la molécule attirée, et $s$ la distance au centre de gravité du sphéroïde. Son attraction sur la molécule sera ${\frac {\mathrm {S} }{f^{2}}}\,;$ en la multipliant par l’élément $-df$ de sa direction et en l’intégrant ensuite, on aura ${\frac {\mathrm {S} }{f}}.$ Ce n’est pas la partie entière de l’intégrale $\int (\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\ldots )$ due à l’action de $\mathrm {S} \,;$ il faut encore transporter en sens contraire à la molécule l’action de ce corps sur le centre de gravité du sphéroïde : pour cela, nommons $\nu$ l’angle que forme $s$ avec l’axe des $x'',$ et $\psi$ l’angle que forme le plan qui passe par cet axe et par le corps $\mathrm {S}$ avec le plan des $x''$ et des $y''\,;$ l’action ${\frac {\mathrm {S} }{s^{2}}}$ de ce corps sur le centre de gravité du sphéroïde, décomposée parallèlement aux axes des $x'',$ des $y''$ et des $z'',$ produira les trois forces suivantes ^[1] :

${\frac {\mathrm {S} }{s^{2}}}\cos \nu ,\qquad {\frac {\mathrm {S} }{s^{2}}}\sin \nu \cos \psi ,\qquad {\frac {\mathrm {S} }{s^{2}}}\sin \nu \sin \psi .$

En les transportant en sens contraire à la molécule attirée, ce qui

1. Laplace avait pris pour ces forces des expressions inexactes, savoir
   ${\frac {\mathrm {S} }{s^{3}}}(s\cos \nu -x''),\qquad {\frac {\mathrm {S} }{s^{3}}}(s\sin \nu \cos \psi -y''),\qquad {\frac {\mathrm {S} }{s^{3}}}(s-\sin \nu \sin \psi -z'').$

   Il a corrigé cette méprise dans la Mécanique céleste. Nous avons cru pouvoir faire la correction dans le Mémoire actuel. $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)