Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
sa valeur donnée par la formule (7) de l’article XIII, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4\pi a^{3}}{3r}}&+{\frac {4\alpha \pi a^{3}}{r}}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{2}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\\&+\alpha r^{2}\left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+r^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right)=\mathrm {const} .\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9092345f81137257af465359e7f80155e14753)
ce sera l’équation de la surface du sphéroïde, en y substituant, au lieu de
sa valeur à la surface
![{\displaystyle a(1+\alpha y)=\quad {\text{ou}}\quad a+\alpha a\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+\mathrm {Y} ^{(1)}+\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31d223c428c277618cd43eab581caa38c3a4c63)
On aura ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cec7e4711eca9569982da128a1b5186ae022e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {const} .={\frac {4}{3}}\pi a^{2}&+{\frac {8\alpha \pi a^{2}}{3}}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}-{\frac {1}{5}}\mathrm {Y} ^{(2)}-{\frac {2}{7}}\mathrm {Y} ^{(3)}-{\frac {3}{9}}\mathrm {Y} ^{(4)}-\ldots \right)\\&+\alpha a^{2}\ \ \quad \left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}\ \ +a\mathrm {Z} ^{(3)}+a^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248a20456a8e35f593b22007098babccd2194141)
On peut supposer
tel que
et, comme les fonctions
et
sont semblables, c’est-à-dire assujetties à la même équation aux différences partielles, leur comparaison dans l’équation précédente donnera généralement,
étant plus grand que l’unité,
![{\displaystyle \mathrm {Y} ^{(i)}={\frac {3}{8\pi }}{\frac {2i+1}{i-1}}a^{i-2}\mathrm {Z} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1f1ff44f8b7266fb9fed4ec4551737bd5d6d54)
équation que l’on peut mettre sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {Y} ^{(i)}={\frac {3}{4\pi }}a^{i-2}\mathrm {Z} ^{(i)}+{\frac {9}{8a\pi }}\int r^{i-2}dr\mathrm {Z} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b563e7042e1f4f8d44615c8c64272f9b9c19ffb)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
On aura de plus
![{\displaystyle \mathrm {Y} ^{(0)}=-{\frac {3}{8\pi }}\mathrm {Z} ^{(0)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2971bbdf55e0e56f88a12f83b334c48d8b5f576e)
De là, il est facile de conclure que le rayon
du sphéroïde sera donné par l’équation suivante
(13)
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