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se réduit à celle-ci

${\frac {4}{3}}\pi a^{3}-\alpha a^{3}\int \mathrm {Y} ^{(0)}d\mu d\varpi =\mathrm {M} \,;$

en substituant donc, au lieu de $\mathrm {Y} ^{(0)},$ sa valeur $-{\frac {3}{8\pi }}\mathrm {Z} ^{(0)}$ on aura

$a=\left(1+{\frac {3\alpha \mathrm {Z} ^{(0)}}{8\pi }}\right){\sqrt[{3}]{\frac {\mathrm {M} }{4\pi }}}.$

XIX.

L’équation (12) de l’article précédent a non seulement Favanlage de faire connaître la figure du sphéroïde, mais encore celui de donner, par sa différentiation, la loi de la pesanteur à sa surface, car il est visible que le premier membre de cette équation étant l’intégrale de la somme de toutes les forces dont chaque molécule est animée à la surface, multipliées par les éléments de leurs directions respectives, on aura la partie de la résultante qui agit suivant le rayon $r,$ en différenciant ce premier membre par rapport à $r\,;$ ainsi, en nommant $p$ la force dont une molécule de la surface est sollicitée vers le centre du sphéroïde, on aura

$p=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}-\alpha {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\mathrm {Z} ^{(0)}+r^{2}\mathrm {Z} ^{(2)}+r^{3}\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right).$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}$ sa valeur à la surface, ${\frac {3}{2}}\pi a+{\frac {\mathrm {V} }{2a}},$ donnée par l’équation (6) de l’article XIII, et, au lieu de $\mathrm {V} ,$ sa valeur donnée par l’équation (12) ; si l’on observe ensuite que nous avons supposé $a$ tel que la constante de cette dernière équation est égale à ${\frac {4}{3}}\pi a^{2},$ on aura

(14)

$\left\{{\begin{aligned}p={\frac {4}{3}}\pi a&-{\frac {1}{2}}\alpha a\left(Z^{(0)}+Z^{(2)}+aZ^{(3)}+a^{2}Z^{(4)}+\ldots \right)\\&-\alpha {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\mathrm {Z} ^{(0)}+r^{2}\mathrm {Z} ^{(2)}+r^{3}\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

$r$ devant être changé en $a$ après les différentiations, dans ce second membre, qui, par l’article précédent, peut toujours se réduire à une fonction finie.