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ce qui donne

$\mathrm {V} =2a^{2}\iint dpdq\sin p\left[(1+2\alpha y)\sin ^{2}p\cos ^{2}q+\alpha (y'-y)\right].$

Il est visible que les intégrales doivent être prises depuis $p$ et $q,$ égaux à zéro jusqu’à $p$ et $q,$ égaux à $180^{\circ }\,;$ on aura ainsi

$\mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi a^{2}-{\frac {4}{3}}\alpha \pi a^{2}y+2\alpha a^{2}\iint dpdqy'\sin p.$

$y'$ étant une fonction de $\cos \theta ',$ il faut déterminer ce cosinus en fonction de $p$ et de $q\,;$ on pourra dans cette détermination négliger les quantités de l’ordre $\alpha ,$ puisque $y'$ est déjà multiplié par $\alpha \,;$ cela posé, on trouvera facilement

$a\cos \theta '=(a-f'\sin p\cos q)\cos \theta +f'\sin p\sin q\sin \theta ,$

d’où l’on tire, en substituant pour $f'$ sa valeur $2a\sin p\cos q,$

$\mu '=\cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos(2q+\theta ).$

On doit observer ici, relativement à l’intégrale $\iint y'dpdq\sin p$ prise par rapport à $q$ depuis $2q=0$ jusqu’à $2q=360^{\circ },$ que le résultat serait le même si l’on prenait cette intégrale depuis $2q=-\theta$ jusqu’à $2q=360^{\circ }-\theta ,$ parce que les valeurs de $\mu ',$ et par conséquent celles de $y',$ sont les mêmes depuis $2q=-\theta$ jusqu’à $2q=0$ que depuis $2q=360^{\circ }-\theta$ jusqu’à $2y=360^{\circ }\,;$ en supposant donc $2q+\theta =q',$ ce qui donne

$\mu '=\mu \cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos q',$

on aura

$\mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi a^{2}-{\frac {4}{3}}\alpha \pi a^{2}y+\alpha a^{2}\iint y'dpdq'\sin p,$

les intégrales étant prises depuis $p=0$ jusqu’à $p=180^{\circ },$ et depuis $q'=0$ jusqu’à $q'=360^{\circ }.$

Maintenant, si l’on désigne par $a^{2}\mathrm {N}$ l’intégrale de toutes les forces étrangères à l’attraction du sphéroïde et multipliées par les éléments de leurs directions, on aura par l’article XVII, dans le cas de l’équilibre,

$\mathrm {const.=V} +a^{2}\mathrm {N} ,$