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De là on peut généralement conclure que si la masse fluide est sollicitée par des forces quelconques très petites, il n’y a qu’une seule figure possible d’équilibre, ou, ce qui revient au même, il n’y a qu’un seul rayon a(1+\alpha y) qui puisse satisfaire à l’équation de l’équilibre

$\mathrm {const} .={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-\mathrm {N} ,$

$y$ étant fonction de $\theta$ et de la longitude $\varpi ,$ et $y'$ étant ce que devient $y$ lorsqu’on y change $\theta$ et $\varpi$ en $\theta '$ et $v'.$

Supposons, en effet, qu’il y ait deux rayons différents $a(1+\alpha y)$ et $a(1+\alpha y+\alpha v)$ qui satisfassent à cette équation, on aura

$\mathrm {const} .={\frac {4}{3}}\alpha \pi (y+v)-\alpha \iint (y'+v')dpdq'\sin p-\mathrm {N} .$

En retranchant l’équation précédente de celle-ci, on aura

$\mathrm {const} .={\frac {4}{3}}\alpha v-\iint v'dpdq'\sin p.$

Cette équation est visiblement celle d’un sphéroïde homogène en équilibre, dont le rayon est $a(1+\alpha v),$ et qui n’est sollicité par aucune force étrangère à l’attraction de ses molécules. L’angle $\varpi$ disparaissant de lui-même dans cette équation, le rayon $a(1+\alpha v)$ y satisferait encore en y changeant $\varpi$ successivement dans $\varpi +d\varpi ,\varpi +2d\varpi ,\ldots ,$ d’où il suit que, si l’on nomme $v_{1},v_{2},\ldots$ ce que devient $v$ en vertu de ces changements, le rayon $a(1+\alpha vd\varpi +\alpha v_{1}d\varpi +\alpha v_{2}d\varpi +\ldots )$ ou $a(1+\alpha \int vd\varpi )$ satisfera à l’équation précédente. Si l’on prend l’intégrale $\int vd\varpi$ depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ },$ le rayon $a(1+\alpha \int vd\varpi )$ devient celui d’un sphéroïde de révolution qui, par ce qui précède, ne peut être qu’une sphère. Voyons la condition qui en résulte pour $v.$

Supposons que $a$ soit la plus courte distance du centre de gravité du sphéroïde, dont le rayon est $a(1+\alpha v),$ à la surface, et que le pôle ou l’origine de l’angle $\theta$ soit à l’extrémité de $a\,;\ v$ sera nul au pôle et positif partout ailleurs ; il en sera de même de l’intégrale $\int vd\varpi .$ Maintenant, puisque le centre de gravité du sphéroïde dont le rayon est $a(1+\alpha v)$ est au centre de la sphère dont le rayon est $a,$ ce point sera pareille-