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bolique est l’unité ; on a d’ailleurs

$a=a_{1}-b_{1}+c_{1}-\ldots \pm q=a_{2}-{\frac {b_{2}}{dx_{1}}}+{\frac {c_{2}}{dx_{1}^{2}}}-\ldots \pm {\frac {q_{2}}{dx_{1}^{n}}},$

et cette valeur de $a$ se réduit au terme $\pm {\frac {q_{2}}{dx_{1}^{n}}},$ parce qu’il est infiniment plus grand que les autres ; l’expression de $\mathrm {Z} _{r}^{(s-1)}$ de l’article V donnera donc, en y changeant $r$ en $i-1,$

$\mathrm {Z} _{i-1}^{(s-1)}=-{\frac {dx_{1}}{1.2.3\ldots (s-1)(\pm q_{2})^{s}}}{\frac {\partial ^{s-1}}{\partial h^{s-1}}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{-hx_{1}}}{\left(h-f_{1}\right)^{s}\left(h-f_{2}\right)^{s}\ldots }}\\+&{\frac {e^{-hx_{1}}}{\left(h-f\right)^{s}\left(h-f_{2}\right)^{s}\ldots }}\\+&{\frac {e^{-hx_{1}}}{\left(h-f\right)^{s}\left(h-f_{1}\right)^{s}\ldots }}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

la différence $\partial ^{s-1}$ étant prise en ne faisant varier que $h$ et en substituant, après les différentiations, $f$ au lieu de $h$ dans le premier terme, $f_{1}$ au lieu de $h$ dans le second terme, et ainsi de suite. Nommons $\mathrm {X} ^{(s-1)}dx_{1},$ la quantité précédente, nous aurons, à l’infiniment petit près,

$\mathrm {Z} _{i\pm \mu }^{(s-1)}=\mathrm {Z} _{1}^{(s-1)}=\mathrm {X} ^{(s-1)}dx_{1}\,;$

d’ailleurs on a $y_{x}=\varphi (\varpi ),$ et la caractéristique $\Delta$ des différences finies doit se changer ici dans la caractéristique $\partial$ des différences infiniment petites, en sorte que l’équation

$\nabla y_{x}=ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+\ldots$

ou, ce qui revient au même, celle-ci

$\nabla y_{x}=a_{2}-{\frac {b_{2}}{dx_{1}}}\Delta y_{x}+{\frac {c_{2}}{dx_{1}^{2}}}\Delta ^{2}y_{x}+\ldots$

devient, en y changeant $dx_{1}$ en $d\varpi ,$

$\nabla y_{x}=a_{2}+b_{2}{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }}+c_{2}{\frac {d^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}}+e_{2}{\frac {d^{3}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{3}}}+\ldots ++q_{2}{\frac {d^{n}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n}}}\,;$