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différence prise par rapport à $s$ est $ds\int {\frac {\partial u}{\partial s}}dz+\mathrm {U} ds,$ étant ce que devient $u$ lorsqu’on y suppose $z=s.$

Si, $l,m$ et $n$ étant toujours supposés constants, on a $l-mn=0,$ on aura $y=1,$ et l’expression de $u$ deviendra

$u=e^{-ms_{1}-ns}\left[\int dz\varphi (z)+\int dz\psi (z)\right]=e^{-ms_{1}-ns}\left[\varphi _{1}(s)+\psi _{1}(s_{1})\right],$

en sorte que la valeur de $u$ est alors indépendante de toute intégrale définie. Mais ce cas est le seul où cela puisse avoir lieu, et c’est ce qui résulte pareillement de ce qui a été démontré dans les Mémoires de l’Académie, année 1773, page 369 ^[1].

L’équation des cordes vibrantes dans un milieu résistant comme la vitesse est

$a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+b{\frac {\partial u}{\partial t}},$

$u$ étant l’ordonnée de la corde vibrante dont l’abscisse est $x,\ t$ représentant le temps, et $a$ et $b$ étant deux constantes dépendantes, l’une de la grosseur et de la tension de la corde, et l’autre de l’intensité de la résistance. Si l’on fait $at+x=s$ et $at-x=s_{1},$ l’équation précédente deviendra

$0={\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}+{\frac {b}{4a}}{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\frac {b}{4a}}{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}\,;$

l’expression précédente de $u$ deviendra donc, en y substituant au lieu de $s$ et de $s_{1},$ leurs valeurs $at+x$ et $at-x.$

$u=e^{\frac {bt}{2}}\left\{{\begin{aligned}&\int dz{\text{⅃}}\left[(at-x)(at+x-z)\right]\varphi (z)\\+&\int dz{\text{⅃}}\left[(at+x)(at-x-z)\right]\psi (z)\end{aligned}}\right\},$

la première intégrale étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=at+x,$ et la seconde intégrale étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=at-x.$ On voit par là que le problème des cordes vibrantes dépend alors de l’intégration de l’équation différentielle

$0=-{\frac {b^{2}}{16a^{2}}}y+{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\theta {\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}\,;$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 35.