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la première intégrale étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=x+at,$ et la seconde étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=x-at.$ La fonction ${\text{⅃}}\left({\frac {x\pm at-z}{2x}}\right)$ est la valeur de $y$ dans l’équation différentielle

$0=\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\theta (1-2\theta ){\frac {dy}{d\theta }}+{\frac {m^{2}+2m}{4}}y,$

dans laquelle $\theta ={\frac {x\pm at-z}{2x}},$ les deux constantes arbitraires de son intégrale devant se déterminer, en sorte que l’on ait

$y=1\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dy}{d\theta }}=-{\frac {m}{4}}(2+m).$

Si l’on a $m=0$ ou $m=2,$ la valeur de $y$ ordonnée suivant les puissances de $\theta$ se termine, et alors la valeur de $u$ est indépendante de toute intégrale définie ; mais, lorsque $m=1,$ ce qui a lieu quand on ne considère l’air qu’avec deux dimensions, l’expression de $u$ est nécessairement dépendante d’une intégrale définie.

Si l’on change dans ${\text{⅃}}\left({\frac {x\pm at-z}{2x}}\right),\ z$ en $x\pm at+z_{1},$ on aura, par l’article XVIII,

$u={\frac {1}{2^{\frac {m}{2}}x^{\frac {m}{2}}}}\int dz_{1}{\text{⅃}}\left({\frac {-z_{1}}{2x}}\right)\left[\varphi (x+at+z_{1})+\psi (x-+at+z_{1})\right],$

l’intégrale étant prise depuis $z_{1}=0$ jusqu’à $z_{1}=\infty .$ Il résulte évidemment de cette valeur de $u$ que la molécule d’air dont elle exprime le dérangement ne commence à s’ébranler que lorsque $x-at+z_{1}$ est égal ou moindre que le rayon de la petite sphère agitée au commencement ; d’où il suit que, dans les trois cas où l’air a une, ou deux, ou trois dimensions, la vitesse du son est la même et se détermine par l’équation $t={\frac {x}{a}}\,;$ on voit ainsi que les formes précédentes des intégrales des équations aux différences partielles ont le même avantage dans les questions physiques que les formes connues jusqu’à présent.

Nous pourrions encore appliquer la méthode précédente à la recherche des vibrations des cordes inégalement épaisses, à la théorie du son dans des tuyaux d’une figure quelconque et à plusieurs autres