Cherchons présentement l’expression de
pour cela, reprenons l’intégrale
![{\displaystyle y_{x,x_{1}}=\varphi (x_{1}+x)+\psi (x_{1}-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aefbdcc517a4621e4aaaa30a0bb1e0422a074a5)
et supposons que le second rang horizontal qui détermine une des deux fonctions arbitraires soit tel que l’on ait
on aura
![{\displaystyle y_{x,x_{1}}=\varphi (x_{1}+x)+\varphi (x-x_{1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec476161aad5b904c2019078fa276638b87b2bcd)
en faisant
on aura
partant
![{\displaystyle y_{x,x_{1}}={\frac {1}{2}}y_{x+x_{1},0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x_{1},0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9e5e471f96486ee6cde76417b8933db364f54f)
Il est aisé de voir que cette équation satisfait à l’équation proposée aux différences partielles ; mais elle n’est qu’une intégrale particulière qui répond au cas où le second rang horizontal se forme du premier, au moyen de l’équation
Tant que
sera égal ou moindre que
et que
sera positif ou nul, on aura la valeur de
au moyen du premier rang horizontal ; mais, lorsque
croissant,
deviendra plus grand que
et que
deviendra négatif, il faudra déterminer les valeurs de
et de
au moyen des colonnes verticales extrêmes. Supposons que tous les termes de ces deux colonnes soient zéro et qu’ainsi l’on ait
et
en faisant
dans l’équation
![{\displaystyle y_{x,x_{1}}={\frac {1}{2}}y_{x+x_{1},0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x_{1},0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9e5e471f96486ee6cde76417b8933db364f54f)
on aura
![{\displaystyle y_{-x_{1},0}=-y_{x_{1},0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4bfae61fa79e1af5c24bc0d4565ca6541e0d96)
en y faisant ensuite
on aura
![{\displaystyle y_{n+x_{1},0}=-y_{n-x_{1},0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b803fb1744533c8af38864bc95e1e4a11545a23e)
Si l’on change, dans cette dernière équation,
en
on aura
![{\displaystyle y_{2n+x_{1},0}=-y_{-x_{1},0}=y_{x_{1},0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a20e8c5842d9ddf01fcb0ea8a1cf56edd4eb3d1)