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On voit aisément que toutes les différentes situations de la corde répondent aux rangs horizontaux de la Table (Z), et, comme les rangs qui correspondent aux valeurs de $x_{1},x_{1}+2n,x_{1}+4n,\ldots$ sont les mêmes, par ce qui précède, il en résulte que la corde reviendra à la même situation après les temps $t,t+{\frac {2n}{a}},t+{\frac {4n}{a}},\ldots ,\ n$ étant toujours la longueur totale de la corde.

Cette analyse des cordes vibrantes établit, si je ne me trompe, d’une manière incontestable la possibilité d’admettre des fonctions discontinues dans ce problème, et il me parait que l’on en peut généralement conclure que ces fonctions peuvent être employées dans tous les problèmes qui se rapportent aux différences partielles, pourvu qu’elles puissent subsister avec les équations différentielles et avec les conditions du problème. On peut considérer, en effet, toute équation aux différences partielles infiniment petites comme un cas particulier d’une équation aux différences partielles finies, dans laquelle on suppose que les variables deviennent infinies : or, rien n’étant négligé dans la théorie des équations aux différences finies, il est visible que les fonctions arbitraires de leurs intégrales ne sont point assujetties à la loi de continuité, et que les constructions de ces équations par le moyen des polygones ont lieu quelle que soit la nature de ces polygones. Maintenant, lorsqu’on passe du fini à l’infiniment petit, ces polygones se changent dans des courbes qui, par conséquent, peuvent être discontinues : ainsi la loi de continuité ne parait nécessaire, ni dans les fonctions arbitraires des intégrales des équations aux différences partielles infiniment petites, ni dans les constructions géométriques qui représentent ces intégrales ; il faut seulement observer que, si l’équation différentielle est de l’ordre $n,$ et que l’on nomme $u$ sa variable principale, $x$ et $t$ étant les deux autres variables, il ne doit point y avoir de saut entre deux valeurs consécutives de ${\frac {\partial ^{n-r}u}{\partial x^{s}\partial t^{n-r-s}}},$ c’est à-dire que la différence de cette quantité doit être infiniment petite par rapport à cette quantité elle-même. Cette condition est nécessaire pour que l’équation différentielle proposée puisse subsister, parce que