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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

Supposons $\mathrm {V} =180^{\circ }+\varpi ,\ \varpi$ étant peu considérable ; l’équation précédente donnera

${\frac {d^{2}\varpi }{dt^{2}}}+\alpha n^{2}\varpi =i-3i'+2i''\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\varpi ={\text{ϐ}}\sin \left(nt{\sqrt {\alpha }}+\gamma \right)+{\frac {i-3i'+2i''}{\alpha n^{2}}},$

${\text{ϐ}}$ et $\gamma$ étant deux constantes arbitraires, et, comme on a $s={\frac {d\mathrm {V} }{dt}}={\frac {d\varpi }{dt}},$ on aura

$n-3n'+2n''=n{\text{ϐ}}\cos \left(nt{\sqrt {\alpha }}+\gamma \right)\,;$

ainsi, en négligeant les quantités périodiques, on aura

$n-3n'+2n''=0.$

On voit par là que les causes qui peuvent altérer les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter ne troublent point le rapport précédent entre ces mouvements ; d’où il suit que, si ces corps sont assujettis à des équations séculaires, celle du premier, plus deux fois celle du troisième, doit être égale à trois fois l’équation séculaire du second.

Pour déterminer ces équations, nous observerons que l’on a, par ce qui précède,

$qn^{2}\sin \mathrm {V} ={\frac {qds}{\alpha dt}}-{\frac {q}{\alpha }}(i-3i'+2i'')\,;$

on aura donc, en rejetant la quantité périodique ${\frac {ds}{dt}},$

${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}\ =&i\ -\ {\frac {q}{\alpha }}\quad (i-3i'+2i''),\\{\frac {dn'}{dt}}\,=&i'\,+{\frac {qm}{\alpha m'}}(i-3i'+2i''){\frac {n'^{\frac {4}{3}}(n-n'')}{n^{\frac {4}{3}}(n'-n'')}},\\{\frac {dn''}{dt}}=&i''-{\frac {qm}{\alpha m''}}(i-3i'+2i''){\frac {n''^{\frac {4}{3}}(n-n')}{n^{\frac {4}{3}}(n'-n'')}}.\end{aligned}}$

Si l’on intègre deux fois de suite ces valeurs de $dn,dn',dn'',$ les termes proportionnels au carré du temps $t$ seront les équations sécu-