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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Le calcul des altérations qu’éprouvent leurs rayons vecteurs et leurs mouvements en longitude et en latitude se trouve ainsi réduit à des quadratures que l’on peut toujours obtenir par les méthodes connues d’interpolation ; mais, dans la théorie des planètes, la considération des orbites peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres peut conduire à des expressions analytiques de ces perturbations et faire connaître la nature des orbites qu’elles décrivent, par des équations fort approchées qui embrassent les siècles passés et à venir.

Pour avoir ces équations, nous reprendrons les formules (5) et (6) des articles IV et V. Si l’on prend pour le plan fixe des $x$ et des $y$ celui de l’orbite primitive de $m,$ et que l’on nomme $v$ l’angle formé par le rayon $r$ et par l’axe des $x,$ on aura

$x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad z=0,\qquad \theta =0.$

Si l’on nomme ensuite $v'$ l’angle que la projection de $r'$ sur le plan fixe fait avec l’axe des $x,$ et $s'$ le sinus de la latitude héliocentrique de $m'$ au-dessus de ce plan, on aura

${\begin{aligned}x'=&r'{\sqrt {1-s'^{2}}}\cos v',\\y'=&r'{\sqrt {1-s'^{2}}}\sin v',\\z'=&r's'\,;\end{aligned}}$

on aura ainsi

$\mathrm {R} ={\frac {r{\sqrt {1-s'^{2}}}}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr'{\sqrt {1-s'^{2}}}\cos(v'-v)+r'^{2}}}},$

$x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}=r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}},$

et les formules (5) et (6) deviendront

(8)

${\frac {\delta r}{a}}={\frac {\left\{{\begin{aligned}&\quad 2\cos v\int ndtr\sin v\int \operatorname {d} \mathrm {R} +\cos v\int ndtr^{2}\sin v{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\\&-2\sin v\int ndtr\cos v\int \operatorname {d} \mathrm {R} -\sin v\int ndtr^{2}\cos v{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\end{aligned}}\right\}}{\sqrt {1-e^{2}}}}$

(9)

$\delta v={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}{\frac {2rd\delta r+\delta rdr}{a^{2}ndt}}+3a\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} +2a\int ndtr{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$