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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
tégrale 
serait peu convergente, les expressions de 
et de 
le deviendraient par les diviseurs qu’elles acquièrent au moyen des intégrations successives. Cette remarque, due à M. Euler, est d’autant plus importante que, sans cette convergence, il eût été impossible d’exprimer analytiquement les perturbations réciproques des planètes dont les rapports des distances au Soleil ne diffèrent pas beaucoup de l’unité.
X.
Considérons présentement les valeurs de 
et de 
Si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {a}{n-n'}}\left[h\sin(nt+\varepsilon )+l\cos(nt+\varepsilon )\right]\left(a{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial a\partial t}}-2{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}\right)\\&+\left[h\cos(nt+\varepsilon )-l\sin(nt+\varepsilon )\right]\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a}}+{\frac {2a}{(n-n')^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t^{2}}}\right)\\&-{\frac {a}{n-n'}}\left[h'\sin(n't+\varepsilon ')+l'\cos(n't+\varepsilon ')\right]\left({\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+a{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial a\partial t}}\right)\\&-{\frac {2a}{(n-n')^{2}}}\left[h'\cos(n't+\varepsilon ')-l'\sin(n't+\varepsilon ')\right]{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t^{2}}},\\\\\mathrm {Y} =&\left[h\sin(nt+\varepsilon )+l\cos(nt+\varepsilon )\right]\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a}}+a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial a^{2}}}\right)\\&-\left[h'\sin(n't+\varepsilon ')+l'\cos(n't+\varepsilon ')\right]\left(2a^{2}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a}}+a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial a^{2}}}\right)\\&+{\frac {2a^{2}}{n-n'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial a\partial t}}\left[h\cos(nt+\varepsilon )-l\sin(nt+\varepsilon )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.-h'\cos(n't+\varepsilon ')+l'\sin(n't+\varepsilon ')\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49677810619b1dadf4e722137532f70df4407499)
la comparaison des termes dépendants des excentricités, dans les équations différentielles (9) et (10) de l’article VII, donnera les deux suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {d^{2}u_{1}}{dt^{2}}}&+n^{2}u_{1}+\left({\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-3n^{2}u\right)\left[h\sin(nt+\varepsilon )+l\cos(nt+\varepsilon )\right]\\&+2n{\frac {du}{dt}}\left[h\cos(nt+\varepsilon )-l\sin(nt+\varepsilon )\right]+2n^{2}\int \mathrm {X} ndt+n^{2}\mathrm {Y} ,\\\\\mathrm {V} _{1}={\frac {2du_{1}}{ndt}}&+2{\frac {du}{ndt}}\left[h\sin(nt+\varepsilon )+l\cos(nt+\varepsilon )\right]\\&+u\left[h\cos(nt+\varepsilon )-l\sin(nt+\varepsilon )\right]+3\iint \mathrm {X} n^{2}dt^{2}+2\int \mathrm {Y} ndt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a48d67861c87bcf61704c31fc247e9b4d603de4)
