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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
Supposons que, en réduisant
en série, on ait
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum \mathrm {L} ^{(i)}\cos \mathrm {I} (n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72066a3f3587ba1002093ff0f2cc131f5f12cf5a)
le signe intégral
se rapportant à toutes les valeurs entières positives et négatives de
sans en excepter la valeur
on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{(-i)}=\mathrm {L} ^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759b76cc53e50ab418f3628fc3dd520100f9d8ac)
Cela posé, l’équation différentielle précédente deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\delta s}{dt^{2}}}+n^{2}\delta s\\&+{\frac {1}{2}}a^{2}a'n^{2}\sum \left\{(p'-p)\mathrm {L} ^{(i)}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right.\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \left.+(q-q')\mathrm {L} ^{(i)}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf2bab9be33e7fe3655abfa20a500216ef12266)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta s={\frac {1}{4}}a^{2}a'(p&-p')\mathrm {L} ^{(1)}nt\sin(nt+\varepsilon )+{\frac {1}{4}}a^{2}a'(q-q')\mathrm {L} ^{(1)}nt\cos(nt+\varepsilon )\\+{\frac {1}{2}}a^{2}a'n^{2}\sum &\left\{{\frac {(p'-p)\mathrm {L} ^{(i-1)}}{\left[n-i(n-n')\right]^{2}-n^{2}}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right.\\&\left.+{\frac {(q-q')\mathrm {L} ^{(i-1)}}{\left[n-i(n-n')\right]^{2}-n^{2}}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9f940de9807a52484946e9975a66020f03027d)
On doit observer que, dans cette valeur de
ainsi que dans les valeurs précédentes de
le signe intégral
s’étend à toutes les valeurs entières positives et négatives de
la seule valeur
étant exceptée.
XII.
Rassemblons maintenant les résultats que nous venons de trouver. Nommons
et
les parties du rayon vecteur
et de la longitude
sur l’orbite qui dépendent du mouvement elliptique ; nommons ensuite
la partie de la latitude
que l’on trouve en supposant que la planète
se meut sur le plan de son orbite primitive ; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=&(r)+m'a(u+u_{1}),\\v=&(v)+m'\ \ (\mathrm {V+V_{1}} ),\\s=&(s)+m'\delta s.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f448f298abfee16944b4db38e4bd6f4b8f1dafc9)
Ces expressions renferment toute la théorie des planètes, lorsqu’on néglige les carrés et les produits des masses perturbatrices, ainsi que