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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
et, dans le cas de
![{\displaystyle \mu =\alpha \left[s+{\frac {s}{1}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{4}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166c9e0c4dfe249e9b3068201844d917a95c7ddc)
partant
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{s}^{(0)}=&2\left\{1+s^{2}\alpha ^{2}+\left[{\frac {s(s+1)}{1.2}}\right]^{2}\alpha ^{4}+\left[{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\right]^{2}\alpha ^{6}+\ldots \right\},\\b_{s}^{(1)}=&2\alpha \left[s+{\frac {s}{1}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{4}+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63ef76c877c2fb2477cb2787c47112baacb9f77)
Dans la théorie des planètes
en substituant donc cette valeur dans les expressions précédentes de
et de
on aura les valeurs relatives à cette théorie ; mais ces valeurs ne seront pas fort convergentes si
n’est pas une petite fraction : elles convergent davantage dans le cas de
et l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}=&2\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {1.1}{2.4}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {1.1.3}{2.4.6}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\ldots \right],\\b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}=&-2\alpha \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\ {\frac {1.1}{2.4}}\alpha ^{2}+{\frac {1.1}{2.4}}\ {\frac {1.1.3}{2.4.6}}\alpha ^{4}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}\ {\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\alpha ^{6}-\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a13431bc904e84b34f0eff744e379d2b065940)
Ces deux suites seront très convergentes si
est moindre que
or, dans la théorie de Jupiter et de Saturne,
est au-dessous de
il suffira, par conséquent, de prendre la somme de leurs dix premiers termes, en négligeant les termes suivants, ou, plus exactement, en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est ![{\displaystyle 1-\alpha ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25a474d2ee6c65db32afde65226a4fb729bc991)
Lorsqu’on aura déterminé
et
on aura
en faisant
et
dans la formule
de l’article précédent, et l’on trouvera
![{\displaystyle b_{\frac {1}{2}}^{(0)}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+6\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead2937504617c262ffd4befc7413b256a51e838)
Si, dans la même formule, on suppose
et
on aura
![{\displaystyle b_{\frac {1}{2}}^{(1)}={\frac {10\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(2)}-\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17407c822419faa93ace0bd42d4ce17c8d6ccac8)