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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
partant
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}=-{\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {\partial b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{\partial \alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84141c0d2fdca54ecd8474bd248eddc47273d20a)
et, dans le cas de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a}}={\frac {1}{a'^{2}}}\left(1-{\frac {\partial b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{\partial \alpha }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cae437c93d1c08517034bbab8def3ff9c8c85d)
Enfin on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}=&-{\frac {1}{a'^{3}}}{\frac {\partial ^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{\partial \alpha ^{2}}},\\{\frac {\partial ^{3}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{3}}}=&-{\frac {1}{a'^{4}}}{\frac {\partial ^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{\partial \alpha ^{3}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775206c95c7026a9256e7138c087d719c9874f78)
et ces équations auront lieu dans le cas même de ![{\displaystyle i=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8236fc04c7aa70652114f95dfada9a917b876ed)
Pour déterminer les quantités
on observera que, par l’article XI, on a
![{\displaystyle {\frac {1}{a'^{3}\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{a'^{3}}}={\frac {1}{2}}\mathrm {L^{(0)}+L^{(1)}\cos \theta +L^{(2)}\cos 2\theta } +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d310817c0bafa7dc6f174e67ddb595b334552005)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{(i)}={\frac {1}{a'^{3}}}b_{\frac {3}{2}}^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3770260454f243666bd2ee7f25fdbce7d2930a2d)
Cette équation a lieu depuis
jusqu’à
mais, dans le cas de
on a
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{(0)}={\frac {1}{a'^{3}}}\left(b_{\frac {1}{2}}^{(0)}-2\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b9ac10808c6c937926b13e14254d5ef0af6c07)
Quant à la valeur de
on la déterminera en faisant, dans la formule
de l’article XIII, ![{\displaystyle s={\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9c9a50f1539db234209eaa3594b7c2eae7e5b5)
Le calcul des perturbations de
par l’action de
facilitera celui des perturbations de
par l’action de
En effet, il est visible que les valeurs de
et de
sont les mêmes dans ces deux calculs, à l’exception des valeurs de
et de
qui sont différentes et qui,