Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/144

130

THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

partant

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}=-{\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {\partial b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{\partial \alpha }},$

et, dans le cas de $i=1,$ on aura

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a}}={\frac {1}{a'^{2}}}\left(1-{\frac {\partial b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{\partial \alpha }}\right).$

Enfin on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}=&-{\frac {1}{a'^{3}}}{\frac {\partial ^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{\partial \alpha ^{2}}},\\{\frac {\partial ^{3}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{3}}}=&-{\frac {1}{a'^{4}}}{\frac {\partial ^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{\partial \alpha ^{3}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ces équations auront lieu dans le cas même de $i=1.$

Pour déterminer les quantités $\mathrm {L^{(0)},L^{(1)},L^{(2)}} ,\ldots ,$ on observera que, par l’article XI, on a

${\frac {1}{a'^{3}\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{a'^{3}}}={\frac {1}{2}}\mathrm {L^{(0)}+L^{(1)}\cos \theta +L^{(2)}\cos 2\theta } +\ldots ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {L} ^{(i)}={\frac {1}{a'^{3}}}b_{\frac {3}{2}}^{(i)}.$

Cette équation a lieu depuis $i=1$ jusqu’à $i=\infty \,;$ mais, dans le cas de $i=0,$ on a

$\mathrm {L} ^{(0)}={\frac {1}{a'^{3}}}\left(b_{\frac {1}{2}}^{(0)}-2\right).$

Quant à la valeur de $b_{\frac {3}{2}}^{(i)},$ on la déterminera en faisant, dans la formule $(b)$ de l’article XIII, $s={\frac {1}{2}}.$

Le calcul des perturbations de $m$ par l’action de $m'$ facilitera celui des perturbations de $m'$ par l’action de $m.$ En effet, il est visible que les valeurs de $\mathrm {A} ^{(i)}$ et de $\mathrm {L} ^{(i)}$ sont les mêmes dans ces deux calculs, à l’exception des valeurs de $\mathrm {A} ^{(1)}$ et de $\mathrm {L} ^{(1)}$ qui sont différentes et qui,