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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
Pour déterminer ces inégalités, supposons que la partie de
dépendante de l’angle
soit exprimée par
![{\displaystyle k\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )-k'\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a42734541d92133f6a42bdd127b0de7ac895135)
sera ce que nous avons nommé
dans l’article XXI. Ce coefficient du temps
peut être, en effet, considéré comme étant très petit, puisqu’il n’est environ que
de
ou
de
Si l’on n’a égard qu’à cette partie de
et qu’on la différentier uniquement par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} \mathrm {R} =&-2k\ ndt\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\\&-2k'ndt\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1317f0b2e69ca4d0bfe18fc740c0c8d2f5777f4d)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} =-6am'\iint n^{2}dt^{2}&\left[\quad k\cos(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right.\\&+\left.k'\sin(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f903c032d5c4466549ccd2242dd6128d748919b)
Les valeurs de
et de
sont, par l’article XII, fonctions des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites ; elles dépendent encore des positions de leurs nœuds et de leurs aphélies ; or toutes ces choses sont variables, et, vu la lenteur avec laquelle croît l’angle
il n’est pas permis de les traiter comme constantes dans la double intégrale précédente. À la vérité, leurs périodes étant beaucoup plus longues que celles de l’angle
on peut n’avoir égard qu’aux différences premières
et
et négliger les différences supérieures ; on trouvera ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} &\\={\frac {6am'n^{2}}{(5n'-2n)^{2}}}&\left[\left(k'-2{\frac {\cfrac {\partial k}{\partial t}}{5n'-2n}}\right)\sin(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right.\\&+\left.\left(k+2{\frac {\cfrac {\partial k'}{\partial t}}{5n'-2n}}\right)\cos(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0334a01fc9c0692b807a995e4586bdb2802098fa)
C’est la quantité dont il faut corriger la longitude moyenne
dans l’expression elliptique du rayon vecteur et de la longitude