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DE L’ANNEAU DE SATURNE.

On aura pareillement

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial y^{2}}}={\frac {x^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r^{2}}}.$

L’équation (1) deviendra donc

(2)

$0={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial z^{2}}}.$

Si le sphéroïde est une sphère ou une couche sphérique qui soit partout d’une égale épaisseur, l’équation (2) pourra se transformer dans une équation aux différences ordinaires entre deux variables, car en faisant

$r'={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},$

ce qui donne

$z={\sqrt {r'^{2}-r^{2}}},$

et en substituant cette valeur dans $\mathrm {V}$ qui, relativement aux sphéroïdes de révolution, est fonction de $r$ et de $z,$ il deviendra fonction de $r$ et de $r'.$ Mais, relativement à une sphère ou à une couche sphérique, si l’on fixe l’origine des coordonnées à son centre, la valeur de $\mathrm {V}$ sera la même, quel que soit $r,$ pourvu que la distance $r'$du point attiré au centre de la sphère soit la même ; $\mathrm {V}$ sera donc alors fonction de $r'$ seul, et il ne renfermera les variables $r$ et $z$ qu’autant qu’elles sont renfermées dans $r'\,;$ on aura ainsi

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}\ \ =&{\frac {r}{r'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}},\\{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r^{2}}}=&{\frac {z^{2}}{r'^{3}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}}+{\frac {r^{2}}{r'^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r'^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial z^{2}}}=&{\frac {r^{2}}{r'^{3}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}}+{\frac {z^{2}}{r'^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r'^{2}}},\end{aligned}}$

et l’équation (2) deviendra

$0={\frac {2}{r'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r'^{2}}}.$