Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/319

305

DES ORBITES DES PLANÈTES.

ainsi, pour que ce membre soit égal à une constante, il faut que l’on ait

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(\mathrm {P} _{i}^{2}+\mathrm {Q} _{i}^{2}\right)=0,$

ce qui est impossible lorsque les planètes tournent dans le même sens ; $g$ doit donc être nul et l’équation en me peut avoir que des racines réelles et inégales. Les valeurs de $p_{i}$ et de $q_{i}$ ne renferment donc que des quantités périodiques qui sont assujetties à l’équation

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)=\mathrm {const} .,$

en sorte que, dans le premier membre de cette équation, les coefficients des mêmes cosinus doivent se détruire mutuellement.

Ce que nous venons de dire sur les équations (B) s’applique également aux équations (C) ; les valeurs de $h_{i}$ et de $l_{i}$ ne renferment que des quantités périodiques assujetties à l’équation

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(h_{i}^{2}+l_{i}^{2}\right)=\mathrm {const} .$

Ces quantités sont encore assujetties aux deux équations suivantes

${\begin{aligned}\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}h_{i}=&\mathrm {const} .,\\\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}l_{i}\ =&\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Si l’on suppose, dans les équations (C),

$h_{i}=\mathrm {M} _{i}\sin(ft+{\text{ϐ}}),\qquad l_{i}=\mathrm {M} _{i}\cos(ft+{\text{ϐ}}),$

on aura

$f\mathrm {M} _{i}=-\mathrm {M} _{i}\sum (i,r)+\sum \mathrm {M} _{r}(i,r),$

ce qui, en faisant successivement $i=0,\ i=1,\ldots ,i=n-1,$ donnera $n$ équations, d’où l’on tirera, par l’élimination, une fonction en $f$ du degré $n.$ Mais on peut observer qu’une de ses racines sera toujours nulle ; car, si l’on suppose $\mathrm {M_{0}=M_{1}=M_{2}} =\ldots ,$ l’équation générale en $\mathrm {M} _{i}$ sera satisfaite, quel que soit $i,$ pourvu que l’on fasse $f=0\,;$ l’équation en $f$ s’abaissera donc au degré $n-1.$

L’analyse précédente ne peut s’appliquer qu’à un système de planètes qui se meuvent toutes dans le même sens, comme cela a lieu dans