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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

cient $\mathrm {H} ^{\text{ıv}}$ est très petit relativement à $\mathrm {H} ,$ mais encore que les termes $\mathrm {Y^{(3)},Y^{(4)}} ,\ldots$ sont insensibles relativement à $\mathrm {Y} ^{(2)},$ en les multipliant même par leurs indices respectifs $3,4,\ldots .$

IX.

Si ces termes étaient nuls, la variation des degrés du méridien suivrait, comme celle de la pesanteur, la loi du carré du sinus de la latitude ; mais, puisque cette loi ne peut (article III) se concilier avec les observations, il en faut conclure que les fonctions $\mathrm {Y^{(3)},Y^{(4)}} ,\ldots ,$ qui sont insensibles dans les expressions du rayon terrestre et de la pesanteur, ne sont cependant pas nulles, et qu’elles deviennent sensibles dans l’expression des degrés des méridiens. Cela peut avoir lieu d’une infinité de manières ; si l’on suppose, par exemple, que

$1+\alpha \mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+\alpha \mathrm {Y} ^{(i)}$

soit l’expression du rayon terrestre, l’expression de la longueur $l$ du pendule à secondes sera, par l’article précédent,

$l=\mathrm {L} \left[1+\alpha \left(\mathrm {H} +{\frac {5}{2}}\varphi \right)\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+(i-1)\alpha \mathrm {Y} ^{(i)}\right],$

et l’expression du degré du méridien sera

$c+{\frac {2}{3}}\alpha c\mathrm {H} -3\alpha c\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)-i(i+1)\alpha c\mathrm {Y} ^{(i)}$

$+\alpha c{\frac {\partial \left(\mu \mathrm {Y} ^{(i)}\right)}{\partial \mu }}-\alpha c{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}.$

Nommons $\lambda$ le rapport du terme $\alpha \mathrm {Y} ^{(i)},$ qui écarte l’expression du rayon terrestre de la loi du carré du sinus de la latitude, au terme $\alpha \mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;$ il est aisé de voir, par l’article précédent, que $\mathrm {H} +{\frac {5}{2}}\varphi$ est à très peu près $-{\frac {7}{4}}\mathrm {H} ,$ et qu’ainsi le rapport du terme $(i-1)\alpha \mathrm {LY} ^{(i)}$ au terme $\alpha \mathrm {L} \left(\mathrm {H} +{\frac {5}{2}}\varphi \right)\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$ dans l’expression de la longueur du pendule, est à très peu près $-{\frac {4}{7}}(i-1)\lambda .$

Le rapport du terme $-i(i+1)\alpha c\mathrm {Y} ^{(i)}$ de l’expression du degré du méridien au terme $-3\alpha c\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)$ est ${\frac {i(i+1)}{3}}\lambda ,$ et il est possible, par la manière dont la longitude $\varpi$ entre dans la fonction $\mathrm {Y} ^{(i)},$ que la