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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

pourra donc ainsi déterminer les valeurs de $\mathrm {B^{(0)},B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots$ et de leurs différences, prises soit relativement à $a,$ soit relativement à $a'.$

VII.

Des inégalités du mouvement des satellites dépendantes
des excentricités des orbites.

Considérons présentement les parties du rayon vecteur et de la longitude des satellites qui dépendent des excentricités des orbites. Pour cela nous reprendrons l’équation (1) de l’article II, en la mettant sous cette forme

$0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{a^{2}dt^{2}}}+{\frac {(1+m)r\delta r}{a^{2}r^{3}}}+{\frac {2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +r{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}}{a^{2}}}.$

Les termes dans lesquels $r\delta r$ est multiplié par une constante et ceux qui dépendent du sinus et du cosinus de l’angle $nt+\varepsilon$ méritent une attention particulière, en ce qu’ils déterminent les variations de l’aphélie et de l’excentricité de l’orbite ; nous allons donc les discuter avec soin. Les termes dans lesquels $r\delta r$ est multiplié par une constante ont été déjà déterminés dans l’article IV ; pour avoir ceux qui dépendent du sinus et du cosinus de l’angle $nt+\varepsilon ,$ considérons la partie

${\frac {m'r\cos(v'-v)}{r'^{2}}}-m'\mathrm {B} ^{(1)}\cos(v'-v)$

de la fonction $\mathrm {R} \,;$ si l’on y substitue $a'+{\frac {r'\delta r'}{a'}},$ au lieu de $r',\ \delta r'$ étant ici la partie de $r'$ qui dépend de l’excentricité de l’orbite du satellite $m',$ cette substitution produira la quantité

$-{\frac {m'r'\delta r'}{a'^{2}}}\left({\frac {2a}{a'^{2}}}+a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).$

Or, en nommant $e'$ l’excentricité de l’orbite de $m',$ et $\varpi '$ la longitude de son aphélie, on a, comme l’on sait, aux quantités près de l’ordre $e'^{2},$

${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}=e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi ')\,;$